视觉SLAM十四讲---03三维空间刚体运动02

最新推荐文章于 2025-03-11 11:58:12 发布

陆洋山芋

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分类专栏：视觉SLAM十四讲文章标签：视觉SLAM十四讲

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_40709702/article/details/98077816

本文详细介绍了三维空间中的旋转表示，包括旋转向量的概念，如何从旋转向量转换为旋转矩阵，以及欧拉角的ZYX分解和万向锁问题。接着探讨了四元数的定义、运算以及如何用四元数表示旋转，最后提及了在SLAM中的应用和Eigen几何模块。

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问题的引入：
①旋转矩阵R_3x3 用9个量来表示3个自由度，变换矩阵T_4x4 用16个量来表示6个自由度，表达方式过于冗余。
②旋转矩阵和变换矩阵自身带有约束，使得估计或优化较难。

使用一个三维向量，其方向同旋转轴一致，而长度等于旋转角，即用旋转向量来描述一次旋转。

使用一个旋转向量和一个平移向量来表达一次变换，即用一个六维向量来描述变换。

假设有一个旋转轴为n，角度为θ的旋转，对应的旋转向量为θn。

由罗德里格斯公式（Rodrigues’s Formula) 可以得到旋转矩阵为：

在这里插入图片描述

证明如下：
在这里插入图片描述

由于“旋转轴经过旋转之后不变”，可有 Rn = n。故，转轴n是矩阵R特征值1对应的特征向量。

“偏航-俯仰-滚转”（yaw-pitch-roll）即ZYX转角分解
- 绕物体的Z轴旋转，得到偏航角yaw
- 绕旋转之后的Y轴旋转，得到俯仰角pitch
- 绕旋转之后的X轴旋转，得到滚转角roll
  用[r,p,y]^T来描述任意旋转。
万向锁问题
在俯仰角为±90°时，第一次旋转与第三次旋转使用同一个轴，使得系统失去了一个自由度。

使用三个实数来表达三维旋转都为遇到这样的问题，故欧拉角不适合插值和迭代，也很少在SLAM中直接使用欧拉角。

为了解决三维向量奇异性（万向锁）的问题，Hamilton找到一种扩展的复数四元数。