EM算法的推导

概括

EM算法是用来求解极大似然函数的一种数学方法，在机器学习中的很多地方都可以见到他的影子，如GMM，HMM，LDA，PLSA(目前本人只是接触过这几个)等等。

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先从最经典的GMM算法说起
加入现在给你一堆数据分别为h1,h2,h3…代表n名学生的身高，我们又知道学生的身高服从参数为(μ1,σ1)的高斯分布，那么我们很自然的想到用极大似然估计的想法求出两个参数。但是如果现在h1,h2,h3…n名同学的身高给出后，我们并不知道他们是男是女，男生身高服从参数为(μ1,σ1)的高斯分布，女生身高服从参数为(μ2,σ2)的高斯分布，我们又该如何去计算呢？仍然用极大似然估计的方法如下：
max∑i=1100logP{hi∣μ1,σ1,μ2,σ2}max\sum_{i=1}^{100}logP\{hi|\mu1,\sigma1,\mu2,\sigma2\}maxi=1∑100​logP{hi∣μ1,σ1,μ2,σ2}
但是我们并不知道每个人是属于男生还是女生，设Z为性别变量，有
(1)max∑i=1100log∑z=12P{hi,z∣μ1,σ1,μ2,σ2}max\sum_{i=1}^{100}log\sum_{z=1}^{2}P\{hi,z|\mu1,\sigma1,\mu2,\sigma2\}\tag{1}maxi=1∑100​logz=1∑2​P{hi,z∣μ1,σ1,μ2,σ2}(1)
正常求导去做，但是我们发现对数当中求导数很不好做所以，就有了EM算法，再看EM算法之前我们先来了解已下Jeson不等式
若$f(x)$是函数，那么有

$$f(E(X))\ge qE(f(X))$$
ps:其实是根据凸函数不等式得来的

先对公式(1)做一个简单的变形上面的公式
(2)max∑i=1100log∑z=12Q(z)P{hi,z∣μ1,σ1,μ2,σ2}Q(z)max\sum_{i=1}^{100}log\sum_{z=1}^{2}\frac{Q(z)P\{hi,z|\mu1,\sigma1,\mu2,\sigma2\}}{Q(z)} \tag{2} maxi=1∑100​logz=1∑2​Q(z)Q(z)P{hi,z∣μ1,σ1,μ2,σ2}​(2)
其中Q(z)是z的一个分布，所以log里面是一个求P{hi,z∣μ1,σ1,μ2,σ2}Q(z)\frac{P\{hi,z|\mu1,\sigma1,\mu2,\sigma2\}}{Q(z)}Q(z)P{hi,z∣μ1,σ1,μ2,σ2}​关于$Q(z)$的均值
log是凸函书，根据jeson不等式公式2(先去点max)为
∑i=1100log∑z=12Q(z)P{hi,z∣μ1,σ1,μ2,σ2}Q(z)≥∑i=1100∑z=12Q(z)logP{hi,z∣μ1,σ1,μ2,σ2}Q(z)\sum_{i=1}^{100}log\sum_{z=1}^{2}\frac{Q(z)P\{hi,z|\mu1,\sigma1,\mu2,\sigma2\}}{Q(z)} \geq \sum_{i=1}^{100}\sum_{z=1}^{2}Q(z)log\frac{P\{hi,z|\mu1,\sigma1,\mu2,\sigma2\}}{Q(z)}i=1∑100​logz=1∑2​Q(z)Q(z)P{hi,z∣μ1,σ1,μ2,σ2}​≥i=1∑100​z=1∑2​Q(z)logQ(z)P{hi,z∣μ1,σ1,μ2,σ2}​
这样一来等号就全部都移到左边去了，log中就没有连加项了。
我们现在来对问题一般化
设要求的问题为
∑YlogP{Y;θ}=∑Ylog∑zP{Y,Z;θ}=∑Ylog∑zQ(z)P{Y,Z;θ}Q(z)\sum_{Y}logP\{Y;\theta\}=\sum_{Y}log\sum_{z}P\{Y,Z;\theta\}=\sum_{Y}log\sum_{z}Q(z)\frac{P\{Y,Z;\theta\}}{Q(z)}Y∑​logP{Y;θ}=Y∑​logz∑​P{Y,Z;θ}=Y∑​logz∑​Q(z)Q(z)P{Y,Z;θ}​
其$Q(z)$是z的分布
∑Ylog∑zQ(z)P{Y,Z;θ}Q(z)≥∑Y∑zQ(z)logp(Y,Z;θ)Q(z)\sum_{Y}log\sum_{z}Q(z)\frac{P\{Y,Z;\theta\}}{Q(z)} \geq \sum_Y\sum_zQ(z)log\frac{p(Y,Z;\theta)}{Q(z)}Y∑​logz∑​Q(z)Q(z)P{Y,Z;θ}​≥Y∑​z∑​Q(z)logQ(z)p(Y,Z;θ)​
当$Q(z)=p(z|x;\theta )$的时候等号成立（也是根据凸函数的性质得出的，此处不再证明）

图像的几何意义如上图所示，这里Y为X。原式$\ge$号恒成立。而由条件$Q(z)=p(z|x;\theta )$可以知道，只有此条件成立的时候才能取等号，我们现在这样考虑这个问题。无论$\theta$取什么值，只要Q(z)满足上面的条件等式就能成立，那么我们随便取一个$\theta$，令$\theta ={\theta }_1$，然后根据$Q(z)=p(z|x;\theta )$得出Q(z)，记作$Q(z1)=p(z|x;{\theta }_1)$，现在只将$Q(z1)$带入不等式中，注意只将$Q(z1)$带入，$\theta$依然是个参数，注意到无论$\theta$和$Q(z)$取什么值，不等式恒成立。只有${\theta }_1$和$Q(z1)$同时带入进去，等式才能成立，但是现在我们只是带入了${\theta }_1$所以不等式是严格的大于，此时就和上图完整的对照起来了，当这时候的${\theta }_1$就是上图的${\theta }_{old}$，因为现在Q(z)是已知的，所以只有$\theta$是未知的，可以对$\theta$求导，求完之后再带回到原来的公式中，就可以得到更优的结果。然后再用心的${\theta }_{new}$求出$Q(z)=p(z|x;{\theta }_{new})$中的$Q(z)$之后继续上面的步骤，当然一开始的时候要初始化一个$\theta ={\theta }_0$才能开始迭代过程。

最后EM能得到什么呢，能得到$P(Z|Y,\theta )$的分布，还有参数$\theta$的最优结果。EM算法中将Z成为隐变量，也就是问题中不能直接观测到的变量。