二次型能量方程求解

二次型 能量方程求解

背景

本人从事于视频拼接，看相关拼接论文，经常会遇到能量优化的问题，如$E = E_p + \alpha E_g + \beta E_s$ 。目的是通过使得E最小来得到期望的参数。这些参数包含在等式右边的各项中。

二次能量方程解

本文基于cvpr2014的一篇文章（parallax-tolerant image stitching ）来具体阐述如何解二次型能量方程。

文章链接：http://web.cecs.pdx.edu/~fliu/papers/cvpr2014-stitching.pdf

文章相关

1. 文章简要介绍
   这篇文章是致力于解决图像拼接领域中具有大视差情况下的拼接问题。文章的创新点在于：大视差的图像拼接问题，不需要保证图像在重叠区域完全重合，只需要存在这样一个狭窄区域–它可以保证能找到一个最佳的拼接线。

2. 文章的实现步骤 ：
   (1). 首先对图像进行预对齐（pre-warping）.就是用一个单应矩阵对图像进行warp.这样得到一个初始的warp结果。原始图像记为 I, pre-warping的结果记为$I^-$
   (2).对初始结果进行refine(local-warping)，最终的结果记为 I^{^} .

3. refine策略
   refine的做法是首先对于原始图像I进行均匀划分格网MXN，每个格网的顶点坐标记为V.
   经过pre-warping 之后，V变为$V^-$ .再经过local-warping之后，$V^-$变为V^. 文章的所有优化工作都是对于格网的顶点进行的，通过优化得到最终的格网，然后直接对格网应用纹理映射机制得到最终的图像。

能量项

文章看不懂或者是不想去看没关系，不影响这里的讲解。
首先，我先列出文章中设计的能量方程。

求解

对于$E_p$项，V是未知数，$\alpha$ 和P是已知值。V统一写成列向量形式
因而$E_p$项可以改为
$E_p=||A_pV-P||^2$
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜a0,0a1,0..am,0a0,1a1,1..am,1a0,2a1,2..am,2..........a0,2n+1a1,2n+1..am,2n+1⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜v0xv