最小序列和问题的几种解法 --贪心+动态规划+分治法

问题

解决方案

1.贪心算法

思路

维护一个当前序列和变量，如果这个变量小于零，就丢弃这个变量，重新初始化为零，重新从当前索引计算序列和。每次计算之后都要与最大值进行比较。

算法步骤

• 参数初始化
  • 当前序列和 ： 初始化为零
  • 最大序列和 ： 初始化为最小整数（Integer.MIN_VALUE)
• 遍历数组
  • 判断当前序列和是否需要重置
  • 序列和与当前索引处元素值相加
  • 判断当前序列和与最大值的大小关系
• 返回最大值

完整代码

public int maxSubArray(int[] nums){
	int cur_sum = 0;
	int max_sum = Integer.MIN_VALUE;
	for(int i=0;i<nums.length;i++){
		if(cur_sum < 0)
			cur_sum = 0;
		cur_sum+=nums[i];
		if(max_sum < cur_sum)
			max_sum = cur_sum;
	}
	return max_sum;
}

2.动态规划

思路

要得到最大序列和，可以求出以每个元素为终点的最大序列和，然后取最大值。计算以当前元素为终点的序列和，只用判断上一个元素的最大序列和是否大于零，如果大于，就加在当前元素上，组成当前元素的最大序列和，如果小于或等于，则当前元素值就为最大序列和。

算法步骤

-参数初始化
序列和最大值：初始化为最小的整数（Integer.MIN_VALUE)

• 迭代
  • 判断当前元素上一元素是否大于零（循环从索引为1处开始）
    • 如果大于零，则将值加在当前元素上
  • 判断当前元素（此时已经代表以当前元素为终点的最大序列和）与序列和最大值的关系
    • 若大于序列和最大值，就把当前值存在序列值最大值中。
• 返回最大值

完整代码

public int maxSubArray(int[] nums){
    int max_sum = Interger.MIN_VALUE;
    for(int i=1;i<nums.length;i++){
    	if(nums[i-1] > 0)
    		nums[i]+=nums[i-1];
    	if(max_sum < nums[i];
    		max_sum = nums[i];
    }
	return max_sum;
}

3.分治法

思路

类似于快速排序，分治法将一块大的区域分成了两块小的区域，对小的区域进行类似的处理，先把小区域的结果算出来，递归返回给上一层，用底层的数据推算出上层的结果。问题的关键是，每一层所应该维护的数据是哪些：

• 每层维护的数据
  • lSum: 以左边界为起点的最大序列和
  • rSum：以右边界为终点的最大序列和
  • nSum：整个区域内的最大序列和
  • iSum：整个区域序列和
• 底层数据推上一层数据的方法
  *上层的lSum: （左边区域的lSum）与 （左边区域的iSum + 右边区域的lSum) 取大
  • 上层的rSum：(右边区域的rSum) 与 （右边区域的iSum + 左边区域的rSum）取大
  • 上层的nSum：(左边区域的nSum)，（左边区域的rSum + 右边区域的lSum) 与 （右边区域的nSum）取大。
  • 上层的iSum：左边区域的iSum + 右边区域的iSum
• 传递数据的方式
  • 由于使用的是JAVA语言，新建一个内部类Status，其中包含四个成员变量，lSum，rSum，nSum，iSum。递归时每层递归返回一个Status对象供上一层递归使用。
• 基础数据的获得
  *当区域内的元素只有一个时，返回对象内的四个变量均为该元素的值。上一层就可以不断使用这些基础数据推算自己层的信息了。

算法步骤

• 参数
  • int[] nums: 目标数组
  • int left: 区域的左边界索引
  • int right: 区域的右边界索引
• 返回值： Status
• 步骤：
  • 判断区域内元素是否只有一个
    • 若是，则返回一个Status对象，该对象的所有成员变量值都为该元素的值
  • 将区域一分为二，分别对每个区域调用此算法，得到对应区域的状态信息。
  • 利用左右区域的状态信息计算出当前层的状态信息并返回

完整代码

class Status{
	int lSum;  //以左边界做起点的最大序列和
	int rSum;  //以右边界为终点的最大序列和
	int nSum;  //整个区域内的最大序列和
	int iSum;  //整个区域的元素和
	
	public Status(int a, int b, int c, int d){
		lSum = a;
		rSum = b;
		nSum = c;
		iSum = d;
	}
}
public int maxSubArray(int[] nums){
	if(nums.length == 0)
    	return 0;
	Status ret = pushUp(nums, 0, nums.length-1);
	return ret.nSum;
}

public Status pushUp(int[] nums, int left, int right){
	if(left == right)
		return new Status(
		nums[left], 
		nums[left], 
		nums[left], 
		nums[left]);
	Status lStatus = pushUp(nums, left, left + (right-left)/2);
	Status rStatus = pushUp(nums, left + (right-left)/2 + 1, right);
	return new Status(
		max(lStatus.lSum, lStatus.iSum+rStatus.lSum),
		max(rStatus.rSum, rStatus.iSum + lStatus.rSum),
		max(lStatus.nSum, lStatus.rSum + rStatus.lSum, rStatus.nSum),
		lStatus.iSum + rStatus.iSum
	);		
}

public int max(int a, int b){
	return a>b?a:b;
}

public int max(int a, int b, int c){
	return max(max(a, b), c);
}