Schur分解定理

设$\mathbf{A}\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$,则存在酉矩阵$\mathbf{U}$,和上三角矩阵$\mathbf{T}$,使得
$$\mathbf{A}=\mathbf{U}\mathbf{T}{\mathbf{U}}^H$$
证明：
利用数学归纳法

当$k=1$时显然成立
假设$k=n-1$时成立
当$k=n$
设${\lambda }_1$是$\mathbf{A}$的特征值，${\beta }_1$是$\mathbf{A}$的特征值${\lambda }_1$对应的单位特征向量
$\mathbf{A}{\beta }_1={\lambda }_1\beta$

将${\beta }_1$扩充为${\mathbb{C}}^n$上一组单位正交基
设$\mathbf{B}=\left({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n\right)$
则
$${\mathbf{B}}^H\mathbf{A}\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cccc}{\beta }_1^H\mathbf{A}{\beta }_1& {\beta }_1^H\mathbf{A}{\beta }_2& \cdots & {\beta }_1^H\mathbf{A}{\beta }_n\\ ⋮& & & ⋮\\ {\beta }_n^H\mathbf{A}{\beta }_1& \cdots & \cdots & {\beta }_n^H\mathbf{A}{\beta }_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& \ast \\ 0& {\mathbf{A}}_1\end{array}\right)$$
因为假设$k=n-1$时成立，$\mathbf{A}\in {\mathbb{C}}^{n-1}$
所以存在酉矩阵${\mathbf{V}}_1$，上三角矩阵${\mathbf{T}}_1$,使得
$${\mathbf{V}}_1^H{\mathbf{A}}_1{\mathbf{V}}_1={\mathbf{T}}_1$$
于是
$${\left(\begin{array}{cc}1& 0^T\\ 0& {\mathbf{V}}_1\end{array}\right)}^H\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& \ast \\ 0& {\mathbf{A}}_1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0^T\\ 0& {\mathbf{V}}_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& \ast \\ 0& {\mathbf{T}}_1\end{array}\right)$$
令
$$\mathbf{U}=\mathbf{B}\left(\begin{array}{cc}1& 0^T\\ 0& {\mathbf{V}}_1\end{array}\right),\mathbf{T}=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& \ast \\ 0& {\mathbf{T}}_1\end{array}\right)$$
有
$$\mathbf{A}=\mathbf{U}\mathbf{T}{\mathbf{U}}^H$$
由数学归纳法，结论成立