[Noi2002]Robot 欧拉函数+递推

题目链接：bzoj1408

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概述

题目的意思比较复杂，大致如下：

给定一个数n，将它所有约数分为三类：

1. 能分解成偶数个不同奇质数的乘积.（质因数的指数小于等于1）
2. 能分解成奇数个不同奇质数的乘积.（质因数的指数小于等于1）
3. 不满足1、2的约数.

注：1不算任何数的约数.

例如：对于正整数90：

• 一类约数：15.
• 二类约数：3、5.
• 三类约数：2、6、9、10、18、30、45、90.

现在告诉你正整数n，让你求得其一类约数的欧拉函数之和，二类约数的欧拉函数之和，三类约数的欧拉函数之和。结果均对10000取模。

我们将$n$质因数分解：

$$n=\prod_{i=1}^kp_i^{e_i}.$$

题目将给出$k$，以及$n$所有的质因数$p_i$和其指数$e_i$.

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题解

我们发现，上面三类约数的并集很显然就是$n$的所有约数（不包括1）

由于正整数$n$的欧拉函数有这么一条性质：

$$n=\sum_{d|n}\varphi(d).$$

（不清楚的可以参考我之前的博客：常见函数讲解1：欧拉函数，其中“扩展性质”中给出了上式的证明）

所以，我们设三类约数的欧拉函数之和分别为$Ans1、Ans2、Ans3$，那么显然有：

$$Ans1+Ans2+Ans3=n-1.$$

也就是说，假如我们求得了$Ans1、Ans2$，那$Ans3$自然能得知了。

那么我们如何求得$Ans1$和$Ans2$呢？

我们发现，对于一个一类约数$a=\prod_{i=1}^mp_i$，其中$m$为偶数，我们对$a$乘一个不属于$\{p_1$~$p_m\}$的质因数$p_{m+1}$，那么我们就能把一类约数$a$变成二类约数$a\times p_{m+1}.$

我们顺着这个思路想，我们用前$i-1$个质因数构成的一类约数，只要乘上$p_i$那么就能把他们全都变成二类约数了。

设$s1_i$为前$i$个质因数构成的一类约数的欧拉函数之和，$s2_i$为前$i$个质因数构成的二类约数的欧拉函数之和。由上面得到的结论，我们可以推出$s1$与$s2$之间存在如下的递推关系：

$$s1_i=s2_{i-1}\times \varphi(p_i).$$ $$s2_i=s1_{i-1}\times \varphi(p_i)+\varphi(p_i).$$

很明显，$Ans1=s1_k,\ Ans2=s2_k$。所以我们只要初始化$s1_0=s2_0=0$，然后$O(n)$的递推即可得到$Ans1$和$Ans2$的值。

至于$Ans3$嘛，之前得出了$Ans3=n-1-Ans1-Ans2$这样的结论，直接计算即可。别忘了取模。

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代码

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<ctime>
#define ll long long
#define For(i,j,k) for(register int i=j; i<=(int)k; ++i)
#define Forr(i,j,k) for(register int i=j; i>=(int)k; --i)
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;

const int mo = 10000;
const int maxn = 1000+5;

int n, x, Ans1, Ans2, Ans3;
int p[maxn], e[maxn];

inline int ksm(int x, int y){
    int back = 1;
    x %= mo;
    while(y){
        if(y & 1)   back = back*x%mo;
        x = x*x%mo;
        y >>= 1;
    }
    return back;
}

int main(){
    scanf("%d", &n);
    For(i, 1, n)    scanf("%d%d", &p[i], &e[i]);

    int s1, s2;
    For(i, 1, n){
        if(p[i] == 2)   continue;
        s1 = (Ans1 + Ans2*(p[i]-1)%mo)%mo;
        s2 = ((Ans2+p[i]-1)%mo + Ans1*(p[i]-1)%mo)%mo;
        Ans1 = s1,  Ans2 = s2;//递推求得Ans1和Ans2. 
    }

    x = 1;
    For(i, 1, n)
        x = x*ksm(p[i], e[i])%mo;//计算n在模10000意义下的值. 
    Ans3 = (x-Ans1-Ans2-1)%mo;//计算Ans3. 
    while(Ans3 < 0) Ans3 += mo;//防止Ans3爆负. 

    printf("%d\n%d\n%d", Ans1, Ans2, Ans3);
    return 0;
}

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小结

本题的关键在于找到那个递推式计算$Ans1$和$Ans2$，结合欧拉函数的性质就能快速计算Ans3。作者想了1h小时无果，膜拜大佬之后便有了灵感。果然，分析性质这儿技能还需要多锻炼才能提高。

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$\mathscr ——wrote\ by\ miraclejzd.$