洛谷P4799 世界冰球锦标赛搜索+二分-优快云博客

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前言

本来是在做搜索剪枝题单的倒数第二题，发现不会做，看了看题解里大佬说这一题更容易，于是打算先从简单入手。

自己YY了个做法，推了推复杂度，好像能过，码了码交上去WA一片，仔细观察了一下发现是二分之前忘记排序了……排序后交上去果然过了。

AC之后片刻，突然意识到自己像个sb：为什么不用upper_bound()呢？

题目描述

题目链接：洛谷P4799 世界冰球锦标赛.

大意是，有 $n$ 个数，还有一个数 $m$ ，求 $n$ 个数任选若干数的和不超过 $m$ 的方案数有多少。

例如：

	n = 5, m = 1000
	a[] = 100 1500 500 500 1000

一共有 $8$ 种方案。

题目分析

观察到 $n$ 只有40，于是我们先考虑暴力。

枚举每一个数选 or 不选，在dfs的过程中记录当前已选数的和，最后判断是否小于 $m$ ，复杂度 $O(2^n)$ .

可是这个 $n$ 有40啊，要是能让 $n$ 减半该多好。

于是这么思考了起来：将 $n$ 个数分成前 $n / 2$ 个数与后 $n / 2$ 个数两部分，对前半部分枚举每一个数选 or 不选，每种方案所选数的和放入 $s 1 []$ ；对后半部分进行同样的操作，将每种方案所选数的和存入 $s 2 []$ 。对于 $s 1 []$ 中的一个和 $a$ ， $s 2 []$ 中所有小于等于 $m - a$ 的方案都是可行的。

于是只需要对枚举 $s 1 []$ 中的每一个 $a$ ，计算 $s 2 []$ 中小于等于 $m - a$ 的数有多少个，那么答案就加多少。这里可以对 $s 2 []$ 排序之后，进行二分查找，总复杂度 $O(2^\frac{n}{2}log(2^\frac{n}{2}))=O(n2^\frac{n}{2})$ ，可以过掉。

我忘了有个upper_bound()于是手写的二分，不得不说要注意的细节还是有一些的。

示例代码

手写二分：


vector<int> s[2]; //s[0]与s[1]分别对应上文说的s1与s2
int bi_search(LL v){
	int l, r, mid;
	l = 0;	r = (int)s[1].size()-1;
	if(r == -1)	return 0;	//这句不要也行，可以想想为什么
	
	while(l < r){ // 最后l与r指向第一个大于v的数
		mid = (l+r) >> 1;
		if(s[1][mid] <= v)
			l = mid+1;
		else	r = mid;
	}
	if(l==(int)s[1].size()-1 && v>=s[1][l])//特判v比最大值的情况
		++ l;
	return l;
}

upper_bound()二分 (秒杀)

int pos = upper_bound(s[1].begin(), s[1].end(), m-s[0][i]) - s[1].begin() //太简单了点hhh

完整代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

int n, ed[2]; //ed[0]:前半段的结束位置    ed[1]:后半段的结束位置
LL m, Ans;
LL a[45];
vector<LL> s[2];// 文中的s1、s2

void dfs(int now, int tp, LL sum){//now:当前为a[now],  tp:0:前半段/1:后半段,  sum:当前已选数的和
	if(sum > m)	return; //小剪枝
	if(now > ed[tp]){ // 枚举完这半段
		s[tp].push_back(sum);
		return;
	}
	
	dfs(now+1, tp, sum+a[now]); //选
	dfs(now+1, tp, sum); //不选
}

int main(){
	cin >> n >> m;
	for(int i=1; i<=n; ++i)
		cin >> a[i];
	
	ed[0] = n/2;		ed[1] = n; //前半段和后半段的结束位置分别为n/2 与 n
	dfs(1, 0, 0);	dfs(n/2+1, 1, 0);
	
	sort(s[1].begin(), s[1].end()); // 二分前千万不要忘了排序！
	int l = s[0].size();
	for(int i=0; i<l; ++i){
		int pos = upper_bound(s[1].begin(), s[1].end(), m-s[0][i]) - s[1].begin(); // 二分
		Ans += pos;
	}
	
	printf("%lld", Ans);
	return 0;
}