统计学习方法梳理

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#统计学 #正态分布 #大数定律 #二项分布 #泊松分布

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1.统计学基本知识

总体与个体

数据存在总体与个体的关系，现实生活中往往用样本数据来估计总体数据的趋势，用以估计总体数据的特征的指标有众数、中位数、均值、方差、标准差等。下面将介绍这些指标。

设总体数据有N个，样本数据有n个（n<=N）

众数：一组数据中出现次数最多的那个数，就是众数，众数可不唯一。

中位数：将一组数据从大到小或者从小到大的排序，中位数等于位于数据中间的数。有两种情况，设有N个数据，当N是偶数时，中位数是中间两个数的平均值，即等于 $\frac{1}{2}*(x_{\frac{N}{2}}+x_{\frac{N}{2}-1})$ ；当n是奇数时，中位数是中间的数据，即等于 $x_{\frac{N+1}{2}}$ 。

样本均值：计算样本数据的平均值。

$\overline{x} =\frac{1}{n}*\sum_{i=1}^{n}xi$

总体均值：计算总体数据的平均值。

$\mu =\frac{1}{N}*\sum_{i=1}^{N}xi$

样本方差：计算样本数据的方差。

$S^{2} =\frac{1}{n-1}*(\sum_{i=1}^{n}(xi-\overline{x})^{2})$

总体方差：计算总体数据的方差。

$\sigma ^{2} =\frac{1}{N}*(\sum_{i=1}^{N}(xi-\mu )^{2})$

样本方差和总体方差的公式不一样，这样才满足样本的无偏估计量是总体方差，便于后续进行估计总体。

$E S^{2}=\sigma ^{2}$

2.二项分布

定义二项分布：在n次伯努利试验中正好出现k次成功的概率为b(k;n,p)：

$b(k;n,p)=\binom{n}{k}p^{k}q^{n-k}$

其中，q=1-p。

b(k;n,p)，k=1,2,3,...n，称为二项分布。

均值：np

方差：npq

3.泊松分布

在独立试验中，以 $p_{n}$ 代表事件A在试验中出现的概率，它与试验总数n有关，如果 $np_{n}\rightarrow \lambda$ ，则当 $n\rightarrow \infty$ 时，

$b(k;n,p)\rightarrow \frac{\lambda ^{k}}{k!}e^{-\lambda }$

形如

$p(k;\lambda )=\frac{\lambda ^{k}}{k!}e^{-\lambda },k=0,1,2,......$

称为泊松分布， $\lambda$ 称为它的参数。

均值： $\lambda$

方差： $\lambda$

4.大数定律

根据百度百科，总结一下大数定律。大数定律需要注意两点，一是“大数”，即试验的次数达到无穷大，二是“定律”，一种符合自然规律的，叫做定律，而不是定理。

大数定律是一种描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律。下面将列举三个重要的定律。

切比雪夫大数定律

设，....是一列相互独立的随机变量(或者两两不相关)，他们分别存在期望和方差。若存在常数C使得：

则对任意小的正数 ε，满足公式：

该定律阐述了一种规律：随着样本容量n的增加，样本平均数将接近于总体平均数。从而为统计推断中依据样本平均数估计总体平均数提供了理论依据。

伯努利大数定律

设μ是n次独立试验中事件A发生的次数，且事件A在每次试验中发生的概率为P，则对任意正数ε，满足公式：

该定律是切比雪夫大数定律的特例，其含义是，当n足够大时，事件A出现的频率将几乎接近于其发生的概率，即频率的稳定性。

辛钦大数定律

辛钦大数定律是比较常用的大数定律。设为独立同分布的随机变量序列，若的数学期望存在，则服从大数定律，即对任意的ε>0，满足公式：

该定律说明满足独立同分布的一系列数，可以用其均值来估计总体数据的均值。

5.正态分布

正太分布，又称为高斯分布。假设一随机变量X服从一个期望为 $\mu$ ，方差为 $\sigma^{2}$ 的正太分布，则可记为

$X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$

当 $\mu=0\ ,\sigma =1$ 时，称 $X\sim N(0 ,1)$ 为标准正太分布。

一维正太分布：

满足一维正太分布的概率密度函数满足

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{-\frac{(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}$

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