欧拉函数有关式ϕ(n)/(n-1)值递减序列性质

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探讨了如何利用欧拉函数ϕ(n)和贪心策略寻找满足特定不等式的最小正整数n。通过分析ϕ(n)/(n-1)与给定阈值A/B的关系，提出了一种迭代方法来解决这一数学问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

欧拉函数有关式 ϕ(n)/(n-1)值的递减序列性质

昨天vijos上有个模拟赛，T2比较有趣。

上题

描述

欧拉函数 $\phi(n)$ 统计了 $1$ 到 $n$ 中与 $n$ 互素的数字个数，例如 $\phi(9)=6$ 。

现在给定正整数 $A$ 和 $B$ ，请找出最小的正整数 $n$ 满足 $\frac{\phi(n)}{n-1} < \frac{A}{B}$ 。

格式

输入格式

输入只有一行，是两个正整数 $A$ 和 $B$ ，满足 $1\le A<B\le 10^6$ 。

输出格式

输出一个正整数，表示最小满足条件的 $n$ 。

样例1

样例输入1

1 2

样例输出1

样例2

样例输入2

2 5

样例输出2

限制

对于 $20\%$ 的数据，保证答案不超过 $10^7$ 。

对于 $30\%$ 的数据，保证答案不超过 $2.5\times 10^{8}$ 。

对于 $40\%$ 的数据，保证答案不超过 $7\times 10^{9}$ 。

对于 $50\%$ 的数据，保证答案不超过 $2.5\times 10^{11}$ 。

对于 $60\%$ 的数据，保证答案不超过 $3.5\times 10^{14}$ 。

对于 $70\%$ 的数据，保证答案不超过 $1.5\times 10^{16}$ 。

对于 $80\%$ 的数据，保证答案不超过 $7\times 10^{17}$ 。

对于 $90\%$ 的数据，保证答案不超过 $3.5\times 10^{30}$ 。

对于 $100\%$ 的数据，保证答案不超过 $10^{200}$ 。

每一组数据的时限为 $1$ 秒。

这题数据范围一脸不可做的样子= =

于是我们考虑找规律（emmmm不要问我为啥找规律因为我只会找规律qwqwqwqwqwq）

由于题目要求找最小的n，我们运用贪心的思想，找该函数值的递减序列。

我们先从1开始枚举，找10000以内的递减序列

于是我们发现这个数列有不断迭代的特点，即

for（i=r;;i+=r)

if(ϕ(n)==ϕ(n-r))r=i;

T2得了80分

今天上午我又尝试找了一下迭代位置n值的关系

再附上80分迭代：

#include<cstdio>
long long r,m,a,b;
long double c;
long long phi(long long n)
{
    long long ans,i,k;
    if(n==1) 
        ans=1;
    else
    {        
        ans=n;
        k=1;
        for(i=2;n!=1;i+=k)
        {
            if(n%i==0)
            {
                ans/=i;
                ans*=(i-1);
                while(n%i==0) n/=i;
                i=k;
            }
        }
    }
    return ans;
}
int main()
{
    r=1;
    scanf("%lld%lld",&a,&b);
    c=a/1.0/b;
    for(long long i=r;i>0;i+=r)
    {
        m=phi(i);
        if(i-r>0&&m==phi(i-r)) r=i,
        if(c>m/1.0/(i-1))
        {
            printf("%lld",i);
            return 0;
        }
    }
    return 0;
}

每次迭代（r的值改变）时，n的值与上一次迭代的值的商成质数序列