【数论专题】

一、递归问题（引子）

1.hanoi双塔问题

①经典hanoi双塔

给你n个盘子，3根柱子分别标为ABC，n个盘子从上到下大小递增，要求大盘不能放在小盘上面且每次只能动一个盘子

问：将盘子全部转移到C柱需要多少步

要使最大的盘子到C柱，较小的n-1个盘子必须先到B柱，大盘再到C柱，小盘再到C柱，即:

$F_n=2F_{n-1}+1,F_0=0$

我们考虑这个式子的封闭形式

$F_n+1=2(F_{n-1}+1)$

$G_n=F_n+1$

$G_n=2G_{n-1},G_0=1$

$G_n=2^n$

即：

$$F_n=2^n-1$$

这样我们就可以在$O(\log n)$的复杂度内解决这个问题了

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②复杂情况

如果每次转移不允许最大的盘子直接到目标柱呢

这样就需要把小盘子先移到目标柱，再将大盘过中继柱，小盘回原柱，大盘到目标柱，小盘到目标柱

可得：$F_n=3F_{n-1}+2$

类比上式可得封闭形式：

$$F_n=3^n-1$$

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③扩展

m柱n盘hanoi塔问题求解

设有i个盘子，j个柱子时的答案为$f[i][j]$，则有：

$$f[i][j]=min(2f[k][j]+f[i-k][j-1])$$

即：将k个盘子拿走，剩余盘子拿到目标柱，再转移k个盘子，组合的最小值即为所求

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int MAXN=2005,INF=0x7f;

int n,m;
int f[MAXN][MAXN];

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=2;i<=m;++i) f[1][i]=1;
    for(int i=3;i<=m;++i) f[2][i]=3;
    for(int i=2;i<=n;++i) f[i][3]=f[i-1][3]*2+1;
    for(int j=4;j<=m;++j){
        for(int i=3;i<=n;++i){
            int minn=0x7fffffff;
            for(int k=1;k<i;++k){
                minn=min(minn,f[k][j]*2+f[i-k][j-1]);
            }f[i][j]=minn;
        }
    }printf("%d\n",f[n][m]);
    return 0;
}

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2.平面分割问题

①直线分割平面

问：n条直线最多将平面分割为几部分

我们考虑交点对答案的影响

第i条直线最多与其他直线形成i-1个交点，每两个相邻交点之间的线段将原区域分为两份，另外两条射线各将原平面分为两份

则有：$F_n=F_{n-1}+n$

即：

$$F_n=\sum_{i=1}^n i+1=\frac{n(n+1)}{2}+1$$

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②角分割平面

问：n个角最多能将平面分割为几部分

每个角可看作两条相交直线去掉交点一侧后剩下的部分

即去掉的一侧不再能够分割平面，共少分割了2n个

可得：$G_n=F_{2n}-2n$

即：

$$G_n=\frac{2n(2n+1)}{2}+1-2n=2n^2-n+1$$

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二、数论

1.整除

①定义

对于整数$n,m$，若$m \neq 0$且存在整数k，使得$km=n$，我们就称m整除n，m是n的约数，n是m的倍数，记作$m|n$

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②性质

1. $a|a$
2. $(a|b) \land (b|a) \Rightarrow a= \pm b$
3. $(a|b) \land (b|c) \Rightarrow a|c$
4. $(b \neq 0) \land (a|b) \Rightarrow |a| \leq |b|$
5. $a|b \Leftrightarrow am|bm$
6. $(a|b) \land (a|c) \Leftrightarrow a|(bx+cy)$

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2.素数

①定义

一个大于1的整数，除了1与其自身外，不能被其他正整数整除的数叫作素数，否则叫作合数

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②判定

方法1：枚举$2~ \sqrt n$的正整数，判定能否整除n，复杂度$O(\sqrt n)$

方法2：枚举$2~ \sqrt n$的素因子，判定能否整除n，复杂度$O(\frac{\sqrt n}{log_e n})$

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③约数个数

对于整数

$$n= \prod_{i=1}^{p_i \leq n} p_i^{r_i}$$

由乘法原理可得其约数个数为：

$$\prod_{i=1}^{p_i \leq n} (r_i+1)$$

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④筛法求素数

埃氏筛$O(n\ln \ln n)$：

#include<cstdio>
#include<bitset>
using namespace std;

const int MAXN=1e6;

int n,p[MAXN];
bitset<MAXN*10> b;

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=2;i<=n;++i){
        if(!b[i]){
            p[++p[0]]=i;
            for(int j=i+i;j<=n;j+=i) b[j]=1;
        }
    }for(int i=1;i<=p[0];++i) printf("%d ",p[i]);
    return 0;
}

欧拉筛$O(n)$：

#include<cstdio>
#include<bitset>
using namespace std;

const int MAXN=5e6+5;

int n;
int p[MAXN];
bitset<MAXN*10> b;

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=2;i<=n;++i){
        if(!b[i]) p[++p[0]]=i;
        for(int j=1;j<=p[0]&&p[j]*i<=n;++j){
            b[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0) break;
        }
    }for(int i=1;i<=p[0];++i) printf("%d ",p[i]);
    return 0;
}

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⑤应用

给定n$(n \lt 10000)$个int范围的数$a_i$，判定其为素数or合数

读入$a_i$时预处理$a_{max}$

欧拉筛筛出$[1,\sqrt{a_{max}}]$范围的质数

用$[2,\sqrt{a_i}]$范围的质数试除

复杂度$O(\frac{n\sqrt{a_{max}}}{\ln a_{max}})$

#include<cstdio>
#include<bitset>
#include<cmath>
using namespace std;

const int MAXN=1e4+5;

int n;
int a[MAXN],p[MAXN];
bitset<MAXN*10> b;

inline int max(int a,int b){
  
  return a>b?a:b;}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]),a[0]=max(a[0],a[i]);
    a[0]=sqrt(a[0]);
    for(int i=2;i<=a[0];++i){
        if(!b[i]) p[++p[0]]=i;
        for(int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=a[0];++j){
            b[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0) break;
        }
    }for(int i=1;i<=n;++i){
        bool fl=1;
        for(int j=1;j<=p[0]&&p[j]*p[j]<=a[i];++j){
            if(a[i]%p[j]==0){fl=0;break;}
        }if(fl) puts("Yes");
        else puts("No");
    }return 0;
}

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⑥区间筛

给定$L,R(1 \leq L \leq R \leq 10^9,R-L \lt 10^5)$，求$[L,R]$范围的素数

线性筛$[1,\sqrt R]$范围素数，再对 [L,R]