2021 年 6 月青少年软编等考 C 语言五级真题解析

T1. 圣诞老人的礼物

题目链接：SOJ D1083

圣诞节来临了，在城市 A 中圣诞老人准备分发糖果，现在有多箱不同的糖果，每箱糖果有自己的价值和重量，每箱糖果都可以拆分成任意散装组合带走。圣诞老人的驯鹿最多只能承受一定重量的糖果，请问圣诞老人最多能带走多大价值的糖果。

时间限制：1 s
内存限制：64 MB

• 输入
  第一行由两个部分组成，分别为糖果箱数正整数 $n(1\le n\le 100)$，驯鹿能承受的最大重量正整数 $w(0<w<10000)$，两个数用空格隔开。其余 $n$ 行每行对应一箱糖果，由两部分组成，分别为一箱糖果的价值正整数 $v$ 和重量正整数 $w$，中间用空格隔开。
• 输出
  输出圣诞老人能带走的糖果的最大总价值，保留 $1$ 位小数。输出为一行，以换行符结束。
• 样例输入

  4 15
  100 4
  412 8
  266 7
  591 2
  

• 样例输出

  1193.0
  

思路分析

此题考查贪心算法中的部分背包问题，属于基础题。

由于糖果可以拆分，因此背包必定可以装满。要想最终总价值最大，容易想到优先装入性价比最高的糖果，每一步决策后的结果都是当前最优解。

可以采用反证法证明该策略的正确性，即假设该策略不是最优的，那么优先装入性价比较低的糖果：

• 在同等重量下，新策略可以获得的总价值并非当前最优；
• 在同等价值下，新策略的糖果总重量更重，那么后续选择的冗余空间更小，不能使结果更优，甚至可能变劣。

因此新策略并非最优解，原策略是为最优解。

在代码实现时，按照性价比降序排序，之后依次遍历每一种糖果，在可以装完的情况下就全部装入，否则选取一部分将剩余空间装满即可。在此过程中，依次按照装入比例累加糖果总价值即可。

/*
 * Name: T1.cpp
 * Problem: 圣诞老人的礼物
 * Author: Teacher Gao.
 * Date&Time: 2025/01/03 19:27
 */

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <algorithm>

using namespace std;

struct candy {
   
    int v, w;
    bool operator<(const candy& a) const {
   
        return v*a.w > a.v*w;
    }
} a[105];

int main()
{
   
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);

    int n, w;
    cin >> n >> w;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> a[i].v >> a[i].w;

    sort(a + 1, a + n + 1);
    double sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
   
        if (a[i].w <= w) {
   
            sum += a[i].v;
            w -= a[i].w;
        }
        else {
   
            sum += 1.0 * a[i].v / a[i].w * w;
            break;
        }
    }

    cout << fixed << setprecision(1) << sum << endl;

    return 0;
}

T2. 数字变换

题目链接：SOJ D1084

给定一个包含 $5$ 个数字（$0\sim 9$）的字符串，例如 "02943"，请将 "12345" 变换到它。你可以采取 $3$ 种操作进行变换

1. 交换相邻的两个数字；
2. 将一个数字加 $1$。如果加 $1$ 后大于 $9$，则变为 $0$；
3. 将一个数字加倍。如果加倍后大于 $9$，则将其变为加倍后的结果除以 $10$ 的余数。

最多只能用第 $2$ 种操作 $3$ 次，第 $3$ 种操作 $2$ 次，求最少经过多少次操作可以完成变换。

时间限制：1 s
内存限制：64 MB

• 输入
  有最多 $10^5$ 组数据，每组数据就是包含 $5$ 个数字的字符串。
• 输出
  对每组数据，输出将 "12345" 变换到给定字符串所需要的最少操作步数。如果无法变换成功，输出 $-1$。
• 样例输入

  12435
  99999
  12374
  

• 样例输出

  1
  -1
  3
  

• 提示
  由于测试数据太多，如果对每组数据都从头进行搜索，就会超时。建议先做预处理，即以 "12345" 作为初始状态做一遍彻底的广搜，找出 "12345" 经合法变换能够到达的所有字符串，并记录到达这些字符串各需要多少步操作。然后对读入的每组数据，在上述预处理记录的结果中进行查询即可。

思路分析

此题考查 $\mathtt{BFS}$，有一定难度。

根据题目的提示信息，我们需要用 $\mathtt{BFS}$ 预处理出所有数字串对应的答案。为了便于标记状态，定义