次小生成树

xiaomengxian的哥哥是一个游戏迷，他喜欢研究各种游戏。这天，xiaomengxian到他家玩，他便拿出了自己最近正在研究的一个游戏给xiaomengxian看。这个游戏是这样的：一个国家有N个城市，有些城市之间可以建设铁路，并且不同城市之间建设铁路的费用各不相同。问如何用最小的费用，使整个国家的各个城市之间能够互相到达。另外，铁路是双向的。xiaomengxian心想，这不是太简单了吗？这就是经典的MST问题。他的哥哥说，这个当然不算什么。关键是它还要求费用第二小的方案，这真是让人伤脑筋。xiaomengxian想了很久，也没有想出来，你能帮助他吗？ 

费用第二小的方案的定义为：与费用最小的方案不完全相同，且费用值除费用最小的方案外最小。

同vijos 1070 网址：https://www.vijos.org/p/1070

题解：

次小生成树，就是求除了最小生成树之外最小的那个生成树。

下面介绍一下利用prim求次小生成树的主要步骤。

1.先求出来最小生成树。并将最小生成树任意两点之间路径当中的权值最大的那一条找出来，为什么要找最大的呢，因为生成树加入一条边之后一定构成了回路，那么肯定要去掉这个回路当中一条边才是生成树，那么，怎么去边才是次小的，那就去掉除了刚刚添加的一条边之外回路当中权值最大的一个，所以留下的就是最小的。

2.枚举最小生成树外的每一条边。找出最小的就是次小生成树。

代码如下，若还是不懂，代码中有注释，可自行参悟

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std; 
int s,minn,g[501][501],m,x,y,z,ss,minn2,low[501],pre[501],low2[501][501]; 
int i,mini,sum,n,t; bool b[501],used[501][501];
int main() 
{
     scanf("%d%d",&n,&m);
     for(i=1;i<=n;i++)         
     {
        g[i][i]=0;
        for(int j=i+1;j<=500;j++)             
            g[i][j]=g[j][i]=123456789;     
    }
    for(i=1;i<=m;i++)     
    {         
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);     
        g[y][x]=g[x][y]=z;//双向边
    }     
    for(i=1;i<=n;i++)         
        low[i]=123456789,pre[i]=i;
    pre[1]=0;  
    low[1]=0;s=0;ss=923456789;
    int k,kk;
    while(1)     
    {
        minn=123456789;
        for(i=1;i<=n;i++)         
        {
            if(!b[i]&&low[i]<minn)             
            {                 
                minn=low[i];
                mini=i;
            }
        }
        if(minn==123456789)break;
        b[mini]=1;
        s=s+minn;
        used[mini][pre[mini]]=used[pre[mini]][mini]=1;
        for(i=1;i<=n;i++)         
        {
            if(b[i]&&i!=mini)low2[i][mini]=low2[mini][i]=max(low2[i][pre[mini]],low[mini]);//记录最小生成树上的路径最大值
            t=min(g[i][mini],g[mini][i]);
            if(!b[i]&&t<low[i])
                low[i]=t,pre[i]=mini;//学过prim的都知道前半段是什么，后半句是记录路径
        }
    }
    printf("Cost: %d\n",s);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            if(g[i][j]!=123456789&&!used[i][j])
                ss=min(ss,s+g[i][j]-low2[i][j]);//枚举每一条边，看看替换该边是否有价值
    }
    if(ss==923456789)ss=-1;//如果没有边可以替换，即没有最小生成树，输出-1
    printf("Cost: %d",ss);
}