luoguP1028 数的计算题解

最新推荐文章于 2022-07-09 14:24:38 发布

千杯湖底沙.

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本文介绍了一种高效算法，用于计算具有特定性质的自然数的数量。通过对递推公式的改进，避免了重复计算，将时间复杂度从O(n^2)降低至更优级别。文中提供了Pascal及C++的实现代码。

题目

题目描述

我们要求找出具有下列性质数的个数(包含输入的自然数n):

先输入一个自然数n(n<=1000),然后对此自然数按照如下方法进行处理:

1.不作任何处理;

2.在它的左边加上一个自然数,但该自然数不能超过原数的一半;

3.加上数后,继续按此规则进行处理,直到不能再加自然数为止.

输入输出格式

输入格式：
一个自然数n(n<=1000)

输出格式：
一个整数，表示具有该性质数的个数。

输入输出样例

输入样例#1：
6
输出样例#1：
6
说明

满足条件的数为

6，16，26，126，36，136

题解

这道题目根本不需要递归。如果不用记忆化记忆住原来的子问题避免第二次重新做同一个子问题，时间复杂度将会成为指数级别的。用递推找寻规律自然数的个数，是本题最优的方法（个人拙见）。下面上思考过程。

我们以h[n]为当前i数字的解，为当自然数为1 的时候，左边不能加任何数，因此i=1时候，自然数序列为1；同理可以推出当i=2的时候自然数序列为2 12……可以思考出递推公式。

方法改进：如果纯粹按照上述方法做，则时间复杂度为O(n^2)，我们还可以改进，

s(x)=h(1)+h(2)+……+h(x);

h(x)=s(x)-s(x-1);
这就是这道题目的核心递推式。
下面上代码（pascal、c++）
pascal

var n,i:longint;
h,s:array[-1..1000]of longint;//防止数组溢出错误
begin
readln(n);
for i:=1 to n do//递推过程
begin
h[i]:=1+s[i div 2];
s[i]:=s[i-1]+h[i];
end;
writeln(h[n]);
end.

c++

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int n,i,h[1500]={},s[1500]={};
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        h[i]=1+s[i/2];
        s[i]=s[i-1]+h[i];
    }
    printf("%d",h[n]);
}