NOI2018湖北省队集训Day5 T1 tree

最新推荐文章于 2024-10-01 18:52:56 发布

CleverLarry

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分类专栏： NOI2018湖北省队集训文章标签：动态规划换根DP

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_39662197/article/details/80425306

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本文介绍了一种在树形结构上应用动态规划的问题解决方法，通过换根DP优化原始O(n²)的复杂度到线性O(n)。具体讲解了如何通过维护前缀积和后缀积来减少重复计算，提供了完整的C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题面：
这里写图片描述

得分情况：
写了朴素的 $O(n^2)$ dp没看到OJ上有多组数据，成功爆零了。

正解：
首先 $O(n^2)$ 的朴素dp很简单，dp[i]表示在以i为根的子树中满足条件的方案数，转移是 $dp[i]=\prod_{j(j为i的儿子)}(dp[j]+1）$ ，一次的时间复杂度为 $O(n)$ ，然后以每个点为根分别做一次dp就行了。
很明显这题是要换根dp，首先我们跑一遍以1为根的dp，然后从1往下进行第二遍dfs，每个点需要乘的是他的父亲除了他这个儿子以外的其他儿子的dp值+1相乘，维护前缀积和后缀积即可。总复杂度为 $O(n)$

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const long long mod=1e9+7;
const int maxn=1e5+100;
long long dp[maxn],g[maxn];
int n,T;
vector <int> map1[maxn];

void dfs1(int now)
{
    dp[now]=1;
    for(int i=0;i<map1[now].size();i++)
    {
        int to=map1[now][i];
        dfs1(to);
        dp[now]=(dp[now]*(dp[to]+1))%mod;
    }
}

void dfs2(int now)
{
    vector <int> l,r;
    int num=map1[now].size();
    for(int i=0;i<=num+1;i++)
    {
        l.push_back(0);
        r.push_back(0);
    }
    l[0]=1;
    for(int i=0;i<num;i++)
    {
        int to=map1[now][i];
        l[i+1]=(l[i]*(dp[to]+1))%mod;
    }
    r[num+1]=1;
    for(int i=num-1;i>=0;i--)
    {
        int to=map1[now][i];
        r[i+1]=(r[i+2]*(dp[to]+1))%mod;
    }
    int k=0;
    for(int i=0;i<num;i++)
    {
        k++;
        g[map1[now][i]]=(((g[now]*l[k-1])%mod*r[k+1])%mod+1)%mod;
        dfs2(map1[now][i]);
    }
}

int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++) map1[i].clear();
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            int x;
            scanf("%d",&x);
            map1[x].push_back(i);
        }
        dfs1(1);
        g[1]=1;
        dfs2(1);
        for(int i=1;i<=n;i++) { printf("%lld ",dp[i]*g[i]%mod);}
        printf("\n");
    }
    return 0;
}