JZOJ 4762. 【NOIP2016提高A组模拟9.7】千帆渡（DP）

最新推荐文章于 2020-11-01 14:55:42 发布

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#JZOJ #题解 #动态规划 #DP

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本文详细解析了JZOJ4762【NOIP2016提高A组模拟9.7】千帆渡的动态规划解题思路，包括状态设置、转移方程、优化方法及代码实现，适合对动态规划有兴趣的学习者。

JZOJ 4762. 【NOIP2016提高A组模拟9.7】千帆渡

题目

Description

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Input

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Output

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Sample Input

5
1 4 2 5 1
4
1 1 2 4

Sample Output

2
1 4

Data Constraint

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题解

好像挺显然地是一道动态规划题。
怎么设状态？
如果设 $f [i] [j]$ 为以 $a [i]$ 和 $b [j]$ 作为末尾的最大答案，这样必须保证 $a [i] = b [j]$ ，不仅会浪费很大的空间，而且转移起来也是 $O(n^2m^2)$ 的，时间必然超限。
但如果设 $f [i] [j]$ 表示以 $a [k] (k \leq i)$ 和 $b [j]$ 作为末尾的最大大案，这样能有一些较为便捷的转移：
1、 $a [i] = b [j]$ ， $f [i] [j] = m a x (f [i - 1] [k]) (k \leq j$ 且 $b [k] < b [j])$
2、 $a [i] \neq = b [j]$ ， $f [i] [j] = f [i - 1] [j]$
怎么统计方案？
在存储最大长度的同时记录下由什么位置转移得到，最后从后往前倒推求值即可。
但这样是 $O(nm^2)$ 的，还要优化。
很显然地，第一种情况的 $m a x$ 可以用边做边维护。
$a [i] = b [j]$ ， $f [i] [j] = m a x (f [i - 1] [k]) (k \leq j$ 且 $b [k] < b [j])$ ，
其实也就是 $f [i] [j] = m a x (f [i - 1] [k]) (k \leq j$ 且 $b [k] < a [i])$ ，
那么就可以：
当 $b [j] < a [i]$ 时，如果 $f [i - 1] [j] > m a x$ ，则 $m a x = f [i - 1] [j]$ .
于是这题就轻松地突破了！

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int a[5010],b[5010],ans[5010];
int f[5010][5010],g[5010][5010],h[5010][5010];
struct
{
	int x,h;
}max[5010];
int main()
{
	int n,m,i,j,k;
	scanf("%d",&n);
	for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	scanf("%d",&m);
	for(i=1;i<=m;i++) scanf("%d",&b[i]);
	for(i=1;i<=n;i++)
		for(j=1;j<=m;j++)
		{
			if(a[i]!=b[j]) 
			{
				f[i][j]=f[i-1][j];
				g[i][j]=g[i-1][j];
				h[i][j]=h[i-1][j];
			}
			else 
			{
				if(max[i-1].x+1>f[i][j])
				{
					f[i][j]=max[i-1].x+1;
					g[i][j]=i-1;
					h[i][j]=max[i-1].h;
				}
			}
			if(b[j]<a[i]) 
			{
				if(f[i-1][j]>max[i-1].x)
				{
					max[i-1].x=f[i-1][j];
					max[i-1].h=j;
				}
			}
		}
	int s=0;
	for(i=1;i<=m;i++) if(f[n][i]>f[n][s]) s=i;;
	printf("%d\n",f[n][s]);
	int x=n,y=s;
	s=f[n][s];
	while(x!=0&&s>0)
	{
		ans[s]=b[y];
		int x1=x;
		x=g[x][y];
		y=h[x1][y];
		s--;
	}
	s=0;
	while(ans[s+1]!=0) printf("%d ",ans[++s]);
	return 0;
}