buck电源环路建模、测量和优化(一)

花光二极管

已于 2024-09-21 22:13:39 修改

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分类专栏：电源设计文章标签：硬件工程

于 2024-09-17 23:36:47 首次发布

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本节内容的适用范围：适用于工作在CCM模式中的电压控制型Buck电源。

主要回答的两个问题：

1、环路响应是什么？

2、建立电源环路的数学模型

前置知识点：

系统稳定性：原来处于平衡状态的系统，在受到扰动作用后都会偏离原来的平衡状态。若系统在扰动作用消失后，经过一段过度过程后，系统仍然能够回复到原来的平衡状态，则称该系统是(渐进)稳定的。否则，则称该系统是不稳定的。这是一种系统自身固有的特性，取决于系统本身的结构和参数，与输入无关。开环系统可以是稳定的，也可以是不稳定的。对于不稳定的开环系统，通过闭环控制可以在一定范围内实现稳定。对闭环系统来说，当注入一个干扰，系统响应是收敛的，那么这个系统是稳定的；如果系统响应是发散的，则系统是不稳定的。
传递函数：传递函数是用来描述系统行为的数学表达式。对于单反馈回路的闭环控制系统框图如下图所示。R(s)是输入信号，C(s)是输出信号，G(s)是系统的前向通道传递函数，H(s)是系统的反向通道传递函数。通常可以使用微分方程来描述系统的输出与输入的关系，但微分方程在求解复杂多项式中难度很大，通常使用拉氏变换转为复频域中求解，其中s=jw，包含了频率和相位。传递函数最后再通过反拉氏变换转成时域表达式。

由图可知：

$C(s)=[R(s)-C(s)H(s)]G(s)$

因此闭环传递函数为：

$\Phi (s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}$

G(s)H(s)称为闭环系统的开环传递函数。通常也可以叫做环路响应，可以用来评估系统的稳定性。

以上的内容仅针对于线性系统。经典控制原理对线性系统的解释是满足叠加原理，即当给定一个输入r1(t)，系统输出为c1(t)；当系统输入为r2(t)，输出变为r2(t)。当输入为r1(t)+r2(t)，则输出是它们各自作用时输出的叠加。任何输入系统的扰动波形，都可以看作一系列正弦波的叠加。

电压控制型降压电路的典型拓扑如图所示。

将控制系统分为4个环节，那么其框图可以表示为：

这里需要解释的是，系统的输入并不是输出电源Vin，而是内部的参考电压Vref。Vin在这里是作为系统的扰动存在的。回想一下，我们对于闭环控制系统，是不是期望系统的输出能够跟随输入的变化？很显然，无论输入电压怎么变化，我们期望输出电压是恒压，输入电压的波动对我们来说就是一个干扰信号。而如果改变参考电压Vref的大小，是可以影响输出电压大小的。

那么，系统的开环传递函数就可以表示为：

$To(s)=V_{OUT}/V_{IN}=K_{FB}*K_{EA}(s)*K_{PWM}(s)K_{LC}(s)$

反馈网络的增益 $K_{FB}$ ：它是一个比例因子，在电路中指的是两个分压电阻。显然分压电阻确定后，它是一个与频率无关的常数。 $K_{FB}=\frac{R_{BB}}{R_{BB}+R_{BT}}$
脉宽调节器增益 $K_{PWM}$ ：在这个环节里，输入的是误差放大器的输出电压Vc，输出是SW节点的PWM电压。显然这两者并不是线性的，如果不进行线性化，将难以展开分析。对于非线性系统，可以使用小信号建模的方法。即不分析大信号作用下的系统响应，而在很小的信号变化范围内，可以认为系统是线性的。

这里更便捷的方法是，我们定义该环节的输入是误差放大器的输出电压Vc，而输出是SW节点的占空比。这里记内部三角波的最大幅值为Vp，则Vc变化范围是从零到Vp，对应SW节点的0-100%占空比，这两者的关系是线性的。

对于Buck电路，我们知道占空比为Vout/Vin，SW节点的平均电压值等于输出电压Vout，因此可知：

$d=\frac{V_{c}}{V_{p}}=\frac{V_{OUT}}{V_{IN}}$

$K_{PWM}=\frac{Vsw(ave)}{VC}=d\frac{V_{IN}}{V_{C}}=\frac{V_{C}*V_{IN}}{Vp*V_{C}}=\frac{V_{IN}}{V_{P}}$

可见PWM级的增益取决于输入电压和内部三角波的幅值的比值，这一级的增益为常数。

输出LC滤波器的增益 $K_{LC}(s)$ ：

LC环节的阻抗如图所示，则：

$\frac{Vo(s)}{Vi(s)}=\frac{R||\frac{1}{sC}}{R||\frac{1}{sC}+sL}=\frac{\frac{1}{LC}}{s^{2}+\frac{s}{RC}+\frac{1}{LC}}=\frac{\frac{1}{LC}}{(s-p_{1})(s-p_{2})}$

其中， $p_{1}$ 和 $p_{2}$ 是这个二阶系统的两个极点。上面就是LC环节的传递函数，进一步地，将 $p_{1}$ 和 $p_{2}$ 提出来可以化为尾1标准型，那么前面的系数就是增益 $\frac{1}{p_{1}p_{2}LC}$ 。该传递函数没有零点，存在两个极点。在波特图上，零点可以使增益增加20db/dec的斜率，而极点使得增益减小20db/dec，因此在高频段该环节的增益以-40db/dec递减。