青蛙的约会-求解模线性同余方程

两只在线相识的青蛙决定在同一条纬线上见面,但因未约定具体位置,面临无法相遇的难题。本文通过解析线性方程,利用Java编程解决此问题,找出两蛙相遇所需的跳跃次数。

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1. 问题描述:

两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上,于是它们约定各自朝西跳,直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情,既没有问清楚对方的特征,也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的,它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去,总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上,不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙,你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面,会在什么时候碰面。 
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B,并且规定纬度线上东经0度处为原点,由东往西为正方向,单位长度1米,这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x,青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米,青蛙B一次能跳n米,两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。 

问题网址:https://vjudge.net/problem/OpenJ_Bailian-1061

 

2. 思路分析:因为两只青蛙有可能在绕弯大于一圈的维度才相遇到,这个问题实际上就是取余的问题

x + k * m  =  L * t1+ 余数

y + k * n =   L * t2 + 余数

方程两边相减:(m - n)*k + Lt = y - x;

本质其实就是解决线性方程:a x  + b y = m的一个解的问题,因为其中涉及到求解的次数应该是大于零的,那么求解的应该是第一个大于零的解

需要进行以下的处理:b /= d(d为a,b的最大公约数) x0 = (x%b + b)%b

 

3. 代码如下:

import java.util.Scanner;
public class Main {
	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		int x = sc.nextInt();//坐标
		int y = sc.nextInt();//坐标
		int m = sc.nextInt();//A一次跳
		int n = sc.nextInt();//B一次跳
		int L = sc.nextInt();//纬度总长
		int a = m - n;
		int b = L;
		m = y - x;
		long d;
		try {
			d = Ext_gcd.linearEquation(a, b, m);
			//System.out.println(d);
			long x0 = Ext_gcd.x;
			b /= d;
			b = Math.abs(b);
			//求出第一个大于零的数
			x0 = (x0 % b + b) % b;
			System.out.println(x0);
		} catch (Exception e) {
			System.out.println("Impossible");
			e.printStackTrace();
		}	
	}
	
	private static class Ext_gcd{
		public static long x,y;
		public static long gcd(int a,int b){
			if(b==0){
				x = 1;
				y = 0;
				return a;
			}
			long res = gcd(b,a%b);
			long x1 = x;
			x = y;
			y = x1 - a / b * y;
			return res;
		}
		
		public static long linearEquation(int a,int b,int m) throws Exception{
			long d = gcd(a,b);
			if(m%d!=0){
				throw new Exception("无解");
			}else{
				long n = m / d;
				x *= n;
				y *= n;
			}
			return d;
		}
	}	
}

 

青蛙约会是一个经典的算法题,在很多编程竞赛以及面试题目中都有出现过。下面我会简单地用 C 语言解释这个题目并提供解决方案。 ### 题目描述 两只青蛙在网上相识了,它们约定在线下见面。这两只青蛙分别位于一条数轴上的点 \(x\) 和点 \(y\) ,并且每秒钟都会向前跳跃一次。第一只青蛙每次会跳 \(m\) 步,而第二只青蛙每次会跳 \(n\) 步。此外,这条数轴是个环形结构,长度为 \(L\) 。现在的问题是:这两只青蛙能否在某个时刻相遇?如果可以,那么需要多少时间? --- ### 思路分析 这是一个典型的数学求解问题,涉及同余方程的应用: 我们需要找到满足条件的时间 \(t\),使得两者的位移相等,即: \[ (x + t \cdot m) \% L = (y + t \cdot n) \% L \] 整理得到: \[ (t \cdot (m - n)) \% L = (y - x) \% L \] 令 \(a = m-n\),\(b=y-x\),则上述公式转换成: \[ (a \cdot t) \% L = b \% L \] 这是关于模线性同余方程的标准形式。解决该问题的关键在于判断是否存在整数解,并通过扩展欧几里得算法计算出最小正整数解。 --- ### 算法步骤 1. 判断是否能够有解——当且仅当 \(gcd(a, L)\) 能够整除 \(b\) 的时候才有解; 2. 使用扩展欧几里德算法求出一组特解; 3. 根据通解公式得出最小正整数值; 以下是对应的 C 实现代码示例: ```c #include <stdio.h> #include <stdlib.h> // 扩展欧几里得算法 求 ax+by=gcd(a,b) int ex_gcd(int a, int b, int *x, int *y){ if(b ==0 ){ *x=1;*y=0; return a; } int r=ex_gcd(b,a%b,x,y); int temp=*x; *x=*y; *y=temp-a/b**y; return r; } void frogMeetingTime(long long x,long long y ,long long m ,long long n ,long long L ){ long long a=m-n;//速度差 long long b=y-x;//起始位置差距 //处理负值的情况 取绝对值 并调整方向 if( a<0 ) {a=-a;b=-b;} if( b<0 ) b+=L; //利用拓展欧几里得算法 解决 同余式 at≡b(mod L ) int xx,yy; long long d=ex_gcd((int)a,(int)L,&xx,&yy); if( b%d !=0 ) printf("Impossible\n"); else{ //存在解 计算 最小非负解 long long t=( ((xx*(b/d)) % (L/d))+ (L/d) )%(L/d); printf("%lld\n",t*L/a ); //输出结果 秒数*t } } int main(){ long long X,Y,M,N,L; scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&X,&Y,&M,&N,&L ); frogMeetingTime(X,Y,M,N,L); return 0 ; } ``` --- ### §: 1. 如果将此问题从一维空间推广到二维甚至更高维度的空间该如何解答? 2. 在实际应用过程中有哪些优化技巧能提升程序运行效率? 3. 假设青蛙的跳跃步长不是一个固定常量而是随机变量呢? 这种情况又怎么建模和求解?
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