青蛙的约会 （同余）

题意：两只青蛙在同一纬度上（就是圆圈上）不同位置，具有不同的速度，看几次能跳的一起

解析：设经过t次调到一起，(x+m*t）mod L=(y+n*t) mod L

上式整理一下  (x+m*t)-(y+n*t)=p*L;(p是两只青蛙跳的圈数之差)

转化一下：t*(m-n)+p*L=x-y;

令a=n-m,b=L,c=gcd(a,b),d=x-y;

有a*t+b*p=d;(1)

要求的是t的最小整数解。

用扩展的欧几里德求出其中一组解t0 ,p0, 并令c = gcd(a, b);

有 a * t0 + b * p0 = c;  (2)

因为c = gcd(a, b), 所以 a * t / c是整数，b * p / c 也是整数，所以 d / c 也需要是整数，否则无解。

 (2)式两边都乘(d / c) 得 a * t0 *(d / c) + b * p0 * (d / c) = d;

 所以t0 * (d / c)是最小的解，但有可能是负数。

因为a * ( t0 *(d / c) + b*n) + b * (p0 * (d / c) – a*n) = d; (n是自然数)

所以解为 (t0 * (d / c) % b + b) % b;

#include<stdio.h>
#include<iostream>
using namespace std;
long long t,p,c;
void ojilide(long long a,long long b)
{
    if(b==0)
    {
        t=1;
        p=0;
        c=a;
    }
    else
    {
        ojilide(b,a%b);
        long temp=t;
        t=p;
        p=temp-a/b*p;
    }
}
int main()
{
    long long ok=0,x,y,m,n,l,a,d,b;
    cin>>x>>y>>m>>n>>l;
    if(n==m)
        ok=1;
    else
    {
        a=n-m;
        d=x-y;
        b=l;
        ojilide(a,b);
        if(d%c!=0)
            ok=1;
    }
    if(ok)
        cout<<"Impossible"<<endl;
    else
    {
        //b=b/c;
        d=d/c;
        long long v=d*t;
        cout<<(v%b+b)%b<<endl;
    }
}