Acwing 1223. 最大比例-优快云博客

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本文探讨了如何通过修改更相减损法实现算法，来求解给定数字序列中幂次的最大公约数，以找到它们之间的最大公幂次。通过实例和AC代码展示了如何应用这个技巧，并提供了相关C++实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：
给出若干个数字（可能有重复），去重后从小到大排序，得到若干比例。求这些幂次的最大公幂次。例如， $\frac{125}{8}$ ， $\frac{25}{4}$ ，那么两者的最大公幂次是 $\frac{5}{2}$ ，因为两者都可以写成该数的整数次幂。我们就尝试求最大公幂次。容易发现，关于幂次的“最大公约数”，实际上和更相减损法十分类似。

int gcd_sub(int x, int y)
{
   if(x < y) swap(x, y);
   if(x == y) return x;
   return (y, x - y);
 }

对于求最大公幂次，我们可以将代码修改为：

ll gcd_sub(ll x, ll y)//更相减损
{
    if(x < y) swap(x, y);
    if(y == 1) return x;//因为是对指数的更相减损术，此时幂次为0，则y为1，x即为最后的需要得到的比例数
    return gcd_sub(y, x / y);//因为是对指数的更相减损术 所以用除法
}

对于本题，AC代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 105;
ll a[N];
ll p[N],q[N];

ll gcd(ll a,ll b){
	return b == 0?a:gcd(b,a%b);
}

ll Gcd(ll a,ll b){
	if(a < b){
		swap(a,b);
	}
	
	if(b == 1){
		return a;
	}
	
	return Gcd(b,a/b);
}

int main(){
	int n;
	scanf("%d",&n);
	for(int i = 1;i <= n;i++){
		scanf("%lld",&a[i]);
	}
	sort(a+1,a+1+n);
	int cnt = 0;
	for(int i = 2;i <= n;i++){
		if(a[i] == a[i-1])
			continue;
		ll r = gcd(a[i],a[i-1]);
		p[cnt] = a[i]/r;
		q[cnt] = a[i-1]/r;
		cnt++;
	}
	
	ll fenzi = p[0],fenmu = q[0];
	for(int i = 1;i < cnt;i++){
		fenzi = Gcd(p[i],fenzi);
		fenmu = Gcd(q[i],fenmu);
	}
	
	ll r = gcd(fenzi,fenmu);
	printf("%lld/%lld\n",fenzi/r,fenmu/r);
}