素数算法

最新推荐文章于 2022-06-10 15:17:51 发布

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本文介绍了素数判定、埃氏筛法和区间筛法三种算法，详细阐述了如何有效地找出素数。素数判定中指出，一个数n的约数若非自身则不超过其平方根。埃氏筛法通过删除倍数来筛选素数。区间筛法则结合了平方根和倍数剔除的思想，用于查找特定区间内的素数。

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1、素数判定

给定整数n，判断n是不是素数。
0<n<=10^9

n除了本身，所有的约数都不大根号n，算法复杂度为O（√n）

//素数判定 
bool is_prime(int n)
{
	for(int i=2;i*i<=n;i++)
		if(n%i==0) return false;
	return n!=1;
}
//枚举n所有的约数 
vector<int> divisor(int n)
{
	vector<int> res;
	for(int i=1;i*i<=n;i++)
	{
		if(n%i==0)
		{
			res.push_back(i);
			if(i!=n/i) res.push_back(n/i);
		}
	}
	return res;
}
//整数分解 
map<int,int> prime_factor(int n)
{
	map<int,int> res;
	for(int i=2;i*i<=n;i++)
	{
		while(n%i==0)
		{
			res[i]++;
			n/=i;
		}
	}
	if(n!=1) res[n]=1;
	return res;
}

2、埃氏筛法

给定整数n，问n以内有多少个素数。（n<10^6）

首先，将2~n范围内所有数列举出来。最小的数字2为素数，将表中2的所有倍数删去。表中剩余的最小数字是3，不能被更小的数整除，所以是素数。再将表中所有3的倍数划去。以此类推，表中剩余最小数字是m，m就是素数，再将表中m的倍数都划去。最终留下的是n以内的素数。

int prime[MAX_N];
bool is_prime[MAX_N+1];
int sieve(int n)
{
	int p=0;
	for(int i=0;i<=n;i++) is_prime[i]=true;
	is_prime[0]=is_prime[1]=false;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(is_prime[i])
		{
			prime[p++]=i;
			for(int j=2*i;j<=n;j+=i)
				is_prime[j]=false; //划去i的倍数 
		}
	}
}

3、区间筛法

给定整数a和b，求区间[a,b)内素数个数。
a<b<=10^12,b-a<=10^6

b以内的合数的最小质因数不超过√b，可以先做好[2,√b)和[a,b)的表，然后从[2,√b)中筛出素数的同时，将其倍数从[a,b)中划去，最后[a,b)中剩下的即为素数。

bool is_prime[MAX_L];//区间[a,b) 
bool is_prime_small[MAX_SORT_B];//区间[2,√b) 

//对区间[a,b)内整数执行筛法，is_prime[i-a]=true则i是素数 
void segment_seive(ll a,ll b)
{
	for(int i=0;(ll)i*i<b;i++) is_prime_small[i]=true;
	for(int i=0;i<b-a;i++) is_prime[i]=true;
	
	for(int i=2;(ll)i*i<b;i++)
	{
		if(is_prime_small[i])
		{//i是素数 
			for(int j=2*i;(ll)j*j<b;j+=i)//筛[2,√b) 
				is_prime_small[j]=false;
			for(ll j=max(2LL,(a+i-1)/i)*i;j<b;j+=i) //筛[a,b)，((a+i-1)/i)*i得到[a,b)内i的第一个倍数 
				is_prime[j-a]=false;
		}
	 } 
 }