关于“跳台阶”问题的思考

本文探讨了一只青蛙跳上n级台阶的不同跳法数量问题,通过两种思路:组合数法和斐波那契数列法进行求解,并对比了两者的计算结果及效率差异。

牛客网“剑指offer”栏中的一道题,原题描述:

一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法(先后次序不同算不同的结果)。

我的思路:

思路1(×):假定n个数字,有k个2,剩下都是1,其可能的排列方式为C_n_k(组合数),
     根据规律,依次增加2的个数,组合数的和就是结果。O((n/2)*O(getC)).
     由于n>20的时候数已经相当大了,故这里采用long long形式存储结果。
思路2(√):结果是斐波那契数列:1 2 3 5 8...,使用递归或非递归实现均可。

下面是两种思路的代码实现:

#include<iostream>
using namespace std;
int getC(int n,int k) {
	if(n==0) {
		return 0;
	} else if(k==0) {
		return 1;
	}
	int cut=n-k;
	long long c=1,m=1;//分子、分母
	for(int i=0; i<cut; i++) {
		c*=n;
		n--;
		m*=(i+1);
	}
	long long res=c/m;
	return res;
}
long long jumpFloor(int number) {
	if(number<=0) {
		return 0;
	}
	int max2=number/2;//最多几个2
	int n;//总共几个数字
	int k;//几个2
	long long sum=0;
	for(k=0; k<=max2; k++) {
		n=number-k;
		sum+=getC(n,k);
	}
	return sum;
}


int JumpFloor(int target) {
	if (target <= 0) {
		return -1;
	} else if (target == 1) {
		return 1;
	} else if (target ==2) {
		return 2;
	} else {
		return  JumpFloor(target-1)+JumpFloor(target-2);
	}
}

int main() {
	//斐波那契 
	for(int i=1; i<=30; i++) {
		cout<<JumpFloor(i)<<endl;
	}
	//组合数 
	for(int i=1; i<=30; i++) {
		cout<<jumpFloor(i)<<endl;
	}
	return 0;
}

结果对比:

                                             

                              <左图:斐波那契法>            <右图:组合数法>

很明显,两者从第22个结果开始不同了。Why?

且听下回分解...

别打我,我真的还没证出来...

<think>首先,用户的问题是关于青蛙跳台的变体:计算到第N级台阶的总法数,但第M级台阶是坏的,不能踩。青蛙一次可以1级或2级台阶。 我需要回顾青蛙跳台问题的标准解法。标准问题中,青蛙n级台阶法数是斐波那契数列:设f(n)为n级台阶法数,则f(n) = f(n-1) + f(n-2),其中f(1) = 1, f(2) = 2。 现在,用户引入了约束:第M级台阶是坏的,不能踩。这意味着任何法都不能经过第M级台阶。 所以,我需要计算从第0级到第N级台阶的路径数,但不能踩到第M级台阶。 由于青蛙只能1级或2级,所以问题类似于动态规划,但需要避免第M级台阶。 让我定义dp[i]为到第i级台阶法数,但不能踩到第M级台阶。注意,如果M > N,那么第M级台阶不影响,因为不会踩到它。但用户没有指定M和N的大小关系,所以我需要处理一般情况。 在动态规划中,dp[i]依赖于dp[i-1]和dp[i-2],但前提是i-1和i-2不是坏台阶,或者更精确地说,在计算dp[i]时,我们需要确保路径不经过M。 但由于M是固定的,我可以考虑过M。 一种方法是:计算从0到N的总路径数,减去那些经过M的路径数。 总路径数就是标准青蛙的f(N)。 经过M的路径数:从0到M的路径数乘以从M到N的路径数。 但由于M是坏台阶,不能踩,所以我们需要减去所有包含M的路径。 在计数中,经过M的路径数确实是f(M) * f(N - M),因为从0到M有f(M)种方式,从M到N有f(N - M)种方式,假设台阶是独立的。 在标准青蛙中,台阶是线性的,所以是的,路径可以分解。 所以,总法数 = f(N) - [f(M) * f(N - M)],但前提是M <= N。如果M > N,则f(N - M)未定义,但M > N时,M不影响,所以总法数就是f(N)。 更精确地说: - 如果 M > N,那么第M级台阶在N级之后,所以不影响,总法数 = f(N) - 如果 M <= N,那么总法数 = f(N) - [f(M) * f(N - M)] 但f(N - M)是什么?从M到N,有N - M级台阶,所以法数是f(N - M),其中f(k)是k级台阶法数。 f(k)定义:k级台阶法数,f(0)应该是什么?从0到0,有一种方式:不。所以f(0) = 1。 在标准定义中,f(0)通常设为1,因为起点是0级。 例如,f(1) = 1 (1级) f(2) = 2 (1+1或直接2) f(3) = f(2) + f(1) = 2 + 1 = 3 现在,从M到N,有N - M级台阶,所以法数是f(N - M) 但f(N - M)依赖于N - M的值。 在公式总法数 = f(N) - f(M) * f(N - M)中,这假设了路径经过M,但当我们说经过M,意思是路径包含M级台阶。 在动态规划中,dp[i]表示到达i的路径数。 所以,对于i <= M,如果i < M,那么dp[i]可以正常计算,因为M还没到。 但当i = M时,由于M是坏的,dp[M]应该设为0,因为不能到达M。 然后,对于i > M,dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2],但前提是i-1和i-2不是M,但M是固定的,所以如果i-1 != M and i-2 != M,但更精确地说,dp[i]依赖于dp[j] for j < i。 更好的方法是使用动态规划,并设置dp[M] = 0。 让我定义dp[i]:到第i级台阶法数,且不经过坏台阶(特别是不踩M)。 初始化: - dp[0] = 1(起点) 现在,对于每个i从1到N: - 如果i == M,则dp[i] = 0,因为不能踩M - 否则,dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2](如果i-1 >=0),但需要处理边界。 更仔细地: 对于i >=1, 如果i == M, dp[i] = 0 否则, dp[i] = (dp[i-1] if i-1 != M else 0) + (dp[i-2] if i-2 >=0 and i-2 != M else 0) 但dp[i-1]如果i-1 == M,但M是坏台阶,dp[M]=0,所以如果i-1 == M,那么dp[i-1]=0,所以我们可以统一写为: dp[i] = 0 if i == M else, dp[i] = (dp[i-1] if i-1 >=0) + (dp[i-2] if i-2 >=0) 但dp[i-1] 和 dp[i-2] 已经包含了坏台阶的信息,因为如果i-1 == M, dp[i-1]=0. 在计算dp[i]时,i != M, 所以dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] if i-1 >=0 and i-2 >=0, 但需要处理i=1和i=2的情况。 标准动态规划: - dp[0] = 1 - 对于 i 从 1 到 N: - 如果 i == M,dp[i] = 0 - 否则,如果 i == 1,dp[i] = dp[0](因为只能从01级) - 如果 i == 2,dp[i] = dp[1] + dp[0](如果i!=M) 但需要一般化。 由于坏台阶只有一个,动态规划可以直接处理。 算法: 1. 如果 M > N,那么坏台阶不影响,总法数 = f(N),其中 f 是斐波那契数。 2. 如果 M <= N: - 初始化 dp[0] = 1 - 对于 i 从 1 到 N: - 如果 i == M: - dp[i] = 0 - 否则: - 如果 i == 1: - dp[i] = dp[0] # 只能从01级 - 否则如果 i == 2: - dp[i] = dp[1] + dp[0] # 从11级或从02级 - 否则: # i >=3 - dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] 但注意,当 i=2,如果 M=1,那么 dp[1] 可能为0,但我们需要检查。 在代码中,我们可以写: dp = [0]*(N+1) dp[0] = 1 for i in range(1, N+1): if i == M: dp[i] = 0 else: if i == 1: dp[i] = dp[0] # 因为 i-2 无效 elif i == 2: dp[i] = dp[1] + dp[0] else: dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] 但更简洁地,由于对于 i>=3,dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2],而对于 i=1 和 i=2 可以处理。 实际上,在 Python 中,我们可以这样写: dp = [0]*(N+1) dp[0] = 1 if N >= 1: if 1 == M: dp[1] = 0 else: dp[1] = dp[0] # 到第1级 if N >= 2: if 2 == M: dp[2] = 0 else: # 到第2级:从02级,或从11级(如果1不是坏台阶) ways = 0 if 2-1 != M: # 从第1级过来 ways += dp[1] if 1 <= N else 0 # 但dp[1]已经定义 if 2-2 >= 0 and 2-2 != M: # 从第0级过来 ways += dp[0] dp[2] = ways 但这样很麻烦。由于当 i != M 时,dp[i] 依赖于 dp[i-1] 和 dp[i-2],而如果 i-1 或 i-2 是 M,dp 值已经是 0,所以我们可以这样写: 对于 i 从 1 到 N: if i == M: dp[i] = 0 else: if i == 1: dp[i] = dp[0] # 假设 dp[0] 已定义 elif i == 2: dp[i] = dp[1] + dp[0] else: dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] 但 dp[i-1] 和 dp[i-2] 可能为 0 如果它们是 M 或未定义,但在这个循环中,i 是递增的,所以 dp[i-1] 和 dp[i-2] 应该已经计算好了。 例如,如果 i=3,M=2,那么 dp[3] = dp[2] + dp[1]。如果 M=2,dp[2]=0,所以 dp[3] = 0 + dp[1],如果 dp[1] 不是 0。 这应该是正确的。 但需要处理当 i-1 或 i-2 小于 0 的情况。 对于 i=1:i-2 = -1 < 0,所以只考虑 i-1?但 i=1 时,只能从 0 过来。 类似地,对于 i=2,从 1 或 0 过来。 在代码中,我们可以这样处理: dp[0] = 1 for i in range(1, N+1): if i == M: dp[i] = 0 else: total = 0 if i-1 >= 0 and (i-1) != M: # 但 (i-1) != M 是多余的,因为如果 i-1 == M,dp[i-1]=0,但等等,我们还没有检查 i-1 是否是 M,但在循环中,当 j<i 时,dp[j] 已经设置好了。 - 更好的方式:直接使用 dp[i-1] 和 dp[i-2],如果它们存在。 - 所以:dp[i] = 0 - 如果 i-1 >= 0: dp[i] += dp[i-1] # 从 i-1 一步 - 如果 i-2 >= 0: dp[i] += dp[i-2] # 从 i-2 两步 因为如果 i-1 == M,dp[i-1] 已经是 0,所以不需要额外检查。 类似地,对于 i-2。 所以,算法简化为: - dp[0] = 1 - 对于 i 从 1 到 N: - 如果 i == M: - dp[i] = 0 - 否则: - dp[i] = 0 - 如果 i-1 >= 0: dp[i] += dp[i-1] - 如果 i-2 >= 0: dp[i] += dp[i-2] 但注意,当 i=1 时,i-2=-1<0,所以不加 dp[i-2]。 当 i=2 时,i-1=1>=0,i-2=0>=0,所以加 dp[1] 和 dp[0]。 完美。 现在,dp[N] 就是答案。 如果 M=0,但 0 是起点,通常起点不是坏台阶。用户说“第 M 级台阶坏掉不能踩”,可能 M>=1,因为第 0 级是起点。 在问题中,“第 M 级台阶”,可能从 1 开始编号。 在引用中,例如,n 级台阶,从 1 到 n。 所以,假设台阶编号为 1 到 N,起点是 0 级。 所以,M 在 1 到 N 之间。 如果 M=0,但 0 是起点,可能不需要踩,但为了安全,我们可以处理。 但通常,起点不是问题。 在动态规划中,dp[0]=1,如果 M=0,但 M 是台阶编号,可能 M>=1。 在用户查询中:“第 M 级台阶坏掉不能踩”,以及“到第 N 级台阶”,所以 M 和 N 是正整数,M 可能从 1 到 N。 但为了完整,如果 M=0,由于 dp[0] 是起点,如果 M=0 是坏台阶,那么不能从起点开始?但用户可能假设 M>=1。 在代码中,我们可以添加检查。 但或许在回答中,假设 M 在 1 到 N 之间。 现在,关于 f(N) 减去 f(M)*f(N-M) 的方法。 在动态规划中,它等价吗? 例如,N=3,M=2。 标准 f(3)=3:路径:0->1->2->3?不,在跳台中,路径是跃序列,但台阶是位置。 在计数中,到达 3 的方式:从 1 2 步,或从 2 1 步。 所以,如果 M=2 是坏台阶,那么不能从 2 ,也不能到 2。 所以,dp[0]=1 dp[1]:如果 1!=M,dp[1]=dp[0]=1(假设 M!=1) dp[2]:如果 2==M,dp[2]=0 dp[3]:从 dp[2] 1 步或从 dp[1] 2 步。 所以 dp[3] = dp[2] + dp[1] = 0 + 1 =1 路径:0->1->3( 1 然后 2,但 2 是从 1 到 3) 是的,只有一种方式。 现在,公式 f(N) - f(M)*f(N-M) = f(3) - f(2)*f(1) = 3 - 2*1 =1,正确。 另一个例子,N=3,M=1。 dp[0]=1 dp[1]:如果1==M,dp[1]=0 dp[2]:从dp[1]1步或从dp[0]2步。dp[1]=0,所以dp[2]=0 + dp[0]=1(因为从02步) dp[3]:从dp[2]1步或从dp[1]2步。dp[2]=1,dp[1]=0,所以dp[3]=1 + 0=1 路径:0->2->3(2然后1) 公式:f(3) - f(1)*f(2) = 3 - 1*2 =1,正确。 如果M=3,N=3。 dp[3]=0,因为i==M。 公式:f(3) - f(3)*f(0)。f(0)是什么?如果f(0)=1,那么f(3) - f(3)*1 =3-3=0,正确。 如果M>N,比如N=3,M=4,那么dp[3]=f(3)=3,公式f(3) - f(4)*f(-1),但f(4)未定义,所以公式只在M<=N时有效。 在公式中,当M<=N时,总法数 = f(N) - f(M) * f(N - M),其中f(k)是k级台阶的方法数,f(0)=1。 f(N - M)中,如果N-M<0,未定义,但M>N时,N-M<0,所以我们可以说当M>N时,没有减法。 在实现中,动态规划更通用。 但在回答中,我可以解释两种方法。 现在,用户要求计算法数,所以我需要提供方法。 另外,根据系统指令,我必须使用行内数学表达式,如$f(n)$,和独立公式。 并且用中文回答。 最后,生成相关问题。 首先,结构化回答。 1. 理解问题:青蛙跳台,一次1或2级,第M级坏掉不能踩,求到第N级的法数。 2. 标准解法回顾:没有坏台阶时,法数满足斐波那契数列:$f(n) = f(n-1) + f(n-2)$,其中$f(1) = 1$,$f(2) = 2$,$f(0) = 1$。 3. 有坏台阶:使用动态规划。 - 定义dp[i]为到第i级台阶的方法数,且不经过第M级坏台阶- 初始化:dp[0] = 1(起点) - 对于i从1到N: - 如果i == M,dp[i] = 0(不能踩坏台阶- 否则,dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2](如果i-1 >=0 且 i-2 >=0,否则只加存在的项) 更精确:dp[i] = (dp[i-1] if i-1 >=0 else 0) + (dp[i-2] if i-2 >=0 else 0) 但由于当i=1时,i-2=-1<0,所以不加;i=2时,i-1=1>=0,i-2=0>=0,都加。 在代码中容易实现。 4. 替代方法:使用包含坏台阶的路径减法。 -法数 = f(N) - [f(M) * f(N - M)],当M <= N时,其中f(k)是标准法数,f(0)=1。 - 如果M > N,则总法数 = f(N) - 注意:当M=0时,如果起点是坏台阶,但通常不考虑,假设M>=1。 5. 例子:比如N=3,M=2,则法数=1(路径0->1->3) 6. 代码实现:我可以提供一个简单的Python函数。 现在,关于引用:用户提供了几个引用,但主要是关于标准青蛙或变体,如能n级,但这里是一次1或2级,有坏台阶。 引用[1]是标准问题,引用[2]是数学解法,引用[3]是C++代码,引用[4]和[5]是能任意级的变体。 但用户当前问题有坏台阶,所以引用可能不直接相关,但可以参考。 在回答中,我可以说“类似标准青蛙问题[^1],但增加了坏台阶约束”。 最后,生成相关问题。 相关问题: 1. 如果有多级坏台阶怎么办? 2. 青蛙能更多级,如1,2,3级,有坏台阶怎么办? 3. 如何优化动态规划的空间复杂度? 4. 坏台阶影响的时间复杂度分析? 5. 实际应用场景,如路径规划? 现在,写回答。</think>### 青蛙跳台问题(有坏台阶约束) 用户的问题是关于青蛙跳台的一个变体:青蛙一次可以上1级或2级台阶,但第M级台阶是坏的不能踩(M为正整数),需要计算到第N级台阶的总法数(N为正整数)。标准青蛙跳台问题中,法数满足斐波那契数列[^1],但引入坏台阶约束后,路径不能经过第M级台阶。下面我将逐步解释解法,确保回答清晰可靠。 #### 1. **问题分析建模** - 设 $f(k)$ 为到第 $k$ 级台阶的标准法数(无坏台阶),满足斐波那契递推关系: $$ f(k) = f(k-1) + f(k-2), \quad \text{其中} \quad f(0) = 1, f(1) = 1, f(2) = 2. $$ 例如,$f(3) = 3$(路径:$0\to1\to2\to3$、$0\to1\to3$、$0\to2\to3$)[^1]。 - 引入坏台阶约束:第 $M$ 级台阶不能踩,因此任何包含 $M$ 的路径无效。我们需要计算不经过 $M$ 的法数,记为 $g(N, M)$。 - 解法核心:使用动态规划(DP)或路径减法公式。动态规划更通用,能处理边界情况(如 $M > N$ 或 $M = 0$)。 #### 2. **动态规划解法(推荐)** 动态规划通过状态转移避免坏台阶,定义 `dp[i]` 为到第 $i$ 级台阶法数(不经过 $M$): - **初始化**: - `dp[0] = 1`(起点,第0级)。 - 如果 $M = 0$,则 `dp[0] = 0`(但通常 $M \geq 1$,用户问题台阶从1级开始,故假设 $M \geq 1$;若 $M=0$ 需特殊处理)。 - **状态转移**: - 对于 $i$ 从 1 到 $N$: - 如果 $i = M$,则 `dp[i] = 0`(不能踩坏台阶)。 - 否则,`dp[i] = (dp[i-1] if i-1 >= 0 else 0) + (dp[i-2] if i-2 >= 0 else 0)`。 - 解释:到 $i$ 只能从 $i-1$ 1级或 $i-2$ 2级;如果 $i-1$ 或 $i-2$ 是坏台阶,其 `dp` 值已为0,自动排除无效路径。 - **结果**:`dp[N]` 即为 $g(N, M)$。 - **时间复杂度**:$O(N)$,遍历一次;**空间复杂度**:$O(N)$,可优化为 $O(1)$ 使用滚动变量(见代码示例)。 **例子**: - 设 $N=3, M=2$(坏台阶在第2级): - `dp[0] = 1` - `dp[1] = dp[0] = 1`(路径:$0\to1$) - `dp[2] = 0`($i=M$,不能踩) - `dp[3] = dp[2] + dp[1] = 0 + 1 = 1`(唯一路径:$0\to1\to3$) -法数 = 1。 - 设 $N=3, M=1$(坏台阶在第1级): - `dp[0] = 1` - `dp[1] = 0`($i=M$) - `dp[2] = dp[1] + dp[0] = 0 + 1 = 1`(路径:$0\to2$) - `dp[3] = dp[2] + dp[1] = 1 + 0 = 1`(路径:$0\to2\to3$) -法数 = 1。 #### 3. **路径减法公式(辅助方法)** 当 $M \leq N$ 时,总法数可表示为标准法数减去经过 $M$ 的路径数: $$ g(N, M) = f(N) - f(M) \cdot f(N - M), \quad \text{其中} \quad f(0) = 1. $$ - **条件**: - 如果 $M > N$,则 $g(N, M) = f(N)$(坏台阶在 $N$ 级之后,不影响)。 - 如果 $M = 0$,则 $g(N, M) = 0$(起点坏掉,无法跃;但用户问题中 $M$ 应为正数)。 - **验证**:用上例 $N=3, M=2$: - $f(3) = 3$, $f(2) = 2$, $f(3-2) = f(1) = 1$, - $g(3, 2) = 3 - 2 \times 1 = 1$,正确。 - **限制**:此公式假设路径在 $M$ 处可分割,但动态规划更稳健(推荐优先使用)。 #### 4. **代码实现(Python)** 以下是一个简单的Python函数,实现动态规划解法,处理边界情况(如 $M > N$ 或 $M < 1$): ```python def frog_jump_with_bad_step(N: int, M: int) -> int: """ 计算青蛙到第N级台阶法数,第M级台阶坏掉不能踩。 :param N: 目标台阶级数(正整数) :param M: 坏台阶级数(正整数,通常 M >= 1) :return: 总法数 """ if N <= 0: return 0 # 无效输入 if M < 1: # 如果 M=0 或其他无效值,视为起点坏掉 return 0 # 初始化 dp 数组,dp[i] 表示到第 i 级的法数 dp = [0] * (N + 1) dp[0] = 1 # 起点 for i in range(1, N + 1): if i == M: dp[i] = 0 # 坏台阶法数为 0 else: # 从 i-1 1 级(如果 i-1 有效) jump1 = dp[i - 1] if i - 1 >= 0 else 0 # 从 i-2 2 级(如果 i-2 有效) jump2 = dp[i - 2] if i - 2 >= 0 else 0 dp[i] = jump1 + jump2 return dp[N] # 测试示例 print(frog_jump_with_bad_step(3, 2)) # 输出:1 (N=3, M=2) print(frog_jump_with_bad_step(3, 1)) # 输出:1 (N=3, M=1) print(frog_jump_with_bad_step(3, 4)) # 输出:3 (M>N,无影响) ``` #### 5. **边界情况说明** - **$M > N$**:坏台阶在目标之后,不影响,结果为 $f(N)$。 - **$M = 0$**:起点坏掉,法数为 0(代码已处理)。 - **$N = 0$**:目标为起点,法数为 1,但通常 $N \geq 1$,代码中返回 0 避免歧义。 - **$M = N$**:坏台阶在目标级,则 $g(N, M) = 0$(无法到达)。 #### 6. **参考引用** 此问题扩展自标准青蛙跳台问题[^1],其中引用[1]描述了基础斐波那契模型。本解法结合了动态规划思想,类似引用[3]中的迭代方法,但增加了坏台阶约束以提升通用性。 ### 相关问题 为了帮助您深入理解,以下是基于此问题的扩展思考: 1. **如果有多级坏台阶(如多个台阶不能踩),如何修改动态规划算法?** (提示:使用集合存储坏台阶,在DP循环中检查是否过。) 2. **青蛙能更多级(如1、2、3级),且有坏台阶时,如何计算法数?** (参考引用[4][^4],结合状态转移方程扩展。) 3. **如何优化动态规划的空间复杂度(如使用滚动变量)?** (分析斐波那契数列的优化技巧[^3]。) 4. **坏台阶约束对算法的时间复杂度有何影响?是否可进一步优化?** (讨论DP的 $O(N)$ 复杂度和潜在改进。) 5. **此问题在实际应用中的场景(如机器人路径规划或游戏设计)?** (参考动态规划在组合优化中的通用性[^1]。) 如果您有具体参数(如 $N$ 和 $M$ 的值)或更多细节,我可以提供更针对性的计算或优化!
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