模拟退火算法

背景：想象整个解空间为一段连续的函数，y轴为温度，求解的过程相当于求一个全局的最优解。

模拟退火有关的几个概念：

温度（步长）： 初始温度$T_0$，终止温度$T_E$
衰减系数： $T^{\prime }=T\ast 0.96$， 这个0.96就是一个衰减系数，取值为（0，1）之间的一个值，一般来说，系数越大，搜到全局最优解的可能最大。
温度差$△E$: 新点$T_2$和当前点$T_1$的温度差。$△E=T_2-T_1$
局部最优解: 记当前函数为$f(x)$ ，$x_0$满足$f^{\prime }(x_0)=0$，$f^{\prime \prime }(x_0)>0$的所有点。

步骤：

1. 确定若干个点作为初始温度$T_0$，开始搜索
2. 从当前温度附近的区间选择一个新点，温度为$T_1$，开始下一步的搜索。
   • $△E<0$时，往新点搜索
   • $△E>0$时，以一定概率往新点搜索，这个概率的经验值为$P(x)=e^{-\frac{△E}{T}}$。可以看出，$△E$越大时，往这个点搜索的概率越小

题目

1. AcWing 3167. 星星还是树

#include<iostream>
#include<ctime>
#include<cmath>
using namespace std;

typedef pair<double, double> PDD;
#define x first
#define y second
const int N = 110;
int n;
PDD p[N];
double ans = 1e18;

//产生l,r之间的一个随机数字
double rand(double l, double r) {
    return (double)rand() / RAND_MAX * (r - l) + l;
}

double get_dis(PDD pt) {
    double res = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        double dx = p[i].x - pt.x, dy = p[i].y - pt.y;
        res += sqrt(dx * dx + dy * dy);
    }
    ans = min(res, ans);
    return res;
}

void simulate_anneal() {
    PDD cur(rand(0, 1e4), rand(0, 1e4));
    for(double t = 1e4; t > 1e-4; t *= 0.99) {
        PDD np(rand(cur.x - t, cur.x + t), rand(cur.y - t, cur.y + t));
        double delta = get_dis(np) - get_dis(cur);
        if(exp(-delta / t) > rand(0, 1)) cur = np;
    }
}


int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%lf%lf", &p[i].x, &p[i].y);
    
    for(int i = 0; i < 100; i++) {
        simulate_anneal();
    }
    
    printf("%.0lf\n", ans);
    return 0;
}

2. 1815. 得到新鲜甜甜圈的最多组数

class Solution {
public:
    int w[31], n;
    int m, ans;

    int calc() {
        int res = 0;
        for(int i = 0, s = 0; i < n; i++) {
            if(!s) res++;
            s = (s + w[i]) % m;
        }
        ans = max(ans, res);
        return res;
    }
    void simualate_anneal() {
        random_shuffle(w, w + n);
        for(double t = 1e6; t > 1e-5; t *= 0.98) {
            int a = rand() % n, b = rand() % n;
            int x = calc();
            swap(w[a], w[b]);
            int y = calc();
            int delta = x - y;
            if(!(exp(-delta /t) > (double)rand() / RAND_MAX)) swap(w[a], w[b]);
        }
    }
    int maxHappyGroups(int batchSize, vector<int>& groups) {
        m = batchSize;
        for(int x: groups) w[n++] = x;

        for(int i = 0; i < 100; i++) {
            simualate_anneal();
        }
        return ans;
    }
};