HDU 5698

瞬间移动

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Problem Description

有一个无限大的矩形，初始时你在左上角（即第一行第一列），每次你都可以选择一个右下方格子，并瞬移过去（如从下图中的红色格子能直接瞬移到蓝色格子），求到第 n行第 m列的格子有几种方案，答案对 1000000007取模。

 

Input

多组测试数据。

两个整数 n,m(2\leq n,m\leq 100000)

 

Output

一个整数表示答案

 

Sample Input

  
  

   
   4 5
  
  

 

Sample Output

  
  

   
   10
  
  

 

Source

2016"百度之星" - 初赛（Astar Round2B）

 

Recommend

wange2014

此题为公式题，难度在于推公式，公式推出来就套模板。

分析：一个无限大的矩形，要求从（1，1）到（m，n），只可以走斜下方的方块，将图斜过来看，可以看作是一个

杨辉三角的形状，例如需要到达（4，6）的位置，如图所示，其中首先灰色方块不能选，因为只能走斜向右下的方块

，在空白部分，将图旋转45°，建立一个杨辉三角数阵，发现所求的（4，6）方块在建立的数阵的第7层，通过实验多

组数据，发现方块坐标所处的层数是（m+n-3），则需要从前（m+n-4）层中选择（n-2）或（m-2）个格子，因为得

去掉（n-1）行和（m-1）列（不能选纯1列），还有得去掉第一行和第一列，因此每一层只能选（m-2）或（n-2）个

格子，因此最后的公式为   

  

   C(m+n−4,n −2)=(n+m−4)!(n−2)!∗(m−2)!

代码需要用到卢卡斯定理，具体实现的参考代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#include <cstdlib>
#include <functional>
#include <climits>
#include <cctype>
#include <iomanip>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define clr(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
const int mod = 1e9 + 7;
const double eps = 1e-6;
ll quick_mod(ll a, ll b)
{
    ll ans = 1;
    a %= mod;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
        {
            ans = ans * a % mod;
            b--;
        }
        b >>= 1;
        a = a * a % mod;
    }
    return ans;
}
ll comb(ll n, ll m)
{
    if (m > n)
        return 0;
    ll ans = 1;
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        ll a = (n + i - m) % mod;
        ll b = i % mod;
        ans = ans * (a * quick_mod(b, mod - 2) % mod) % mod;
    }
    return ans;
}
ll Lucas(ll n, ll m)
{
    if (m == 0)
        return 1;
    return comb(n % mod, m % mod) * Lucas(n / mod, m / mod) % mod;
}
int main()
{
    int m, n;
    scanf("%d%d", &m, &n);
    printf("%lld\n", Lucas(m + n - 4, n - 2));
    return 0;
}