最长公共子序列

问题的描述：

一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列。

若给定序列X= { x1, x2,…, xm}，则另一序列Z= {z1, z2,…, zk}是X的子序列是指存在一个严格递增的下标序列

{i1, i2,…, ik}，使得对于所有j=1,2,…,k有 Xij=Zj。例如，序列Z={B,C,D,B}是序列X={A,B,C,B,D,A,B}的子序列，

相应的递增下标序列为{2,3,5,7}。给定两个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，

称Z是序列X和Y的公共子序列。

例如，若X= { A, B, C, B, D, A, B}和Y= {B, D, C, A, B, A}，

则序列{B,C,A}是X和Y的一个公共子序列，序列{B,C,B,A}也是X和Y的一个公共子序列。

而且，后者是X和Y的一个最长公共子序列，因为X和Y没有长度大于4的公共子序列。

给定两个序列X= {x1, x2, …, xm}和Y= {y1, y2, … , yn}，要求找出X和Y的一个最长公共子序列。

下面是算法解析：

       (1)若xm=yn,则zk=xm=yn,且zk-1是Xm-1和Yn-1的最长公共子序列。

      (2)若xm!=yn且zk!=xm，则Z是Xm-1和Y的最长公共子序列

      (3)若xm!=yn且zk!=yn，则Z是X和Yn-1的最长公共子序列。

     a.也就是说当xm=yn时，找出Xm-1和Yn-1的最长公共子序列，然后在其尾部加上 xm=yn 

        b.若xm!=yn时，必须找出两个子问题，找出Xm-1和Yn一个最长公共子序列及Xm和Yn-1一个最长公共子序列

      这两个最长公共子序列中较长者即为X和Y的最长公共子序列。

下面是实现的代码：

#include<iostream>
#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
#include<iomanip>
#include<string.h>
using namespace std;
/**
 m行, n列,x：序列1,y：序列2,
 c：存储xy的最长公共子序列,
 b记录c【i】【j】的值有哪一个问题解到的
*/
void LCSLenght(int m,int n,char *x,char *y,int **c,int **b)///计算最优值
{
   for(int i=1;i<=m;i++)///行
   {
       c[i][0]=0;///列不变行在边
   }
   for(int i=1;i<=m;i++)///列
   {
       c[0][i]=0;///行不变列在变
   }
   for(int i=1;i<=m;i++)
      for(int j=1;j<=n;j++)
     {

         if(x[i]==y[j])
         {
             c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
             b[i][j]=1;
         }

         else if(c[i-1][j]>=c[i][j-1])
         {
             c[i][j]=c[i-1][j];
             b[i][j]=2;
         }

         else
         {
             c[i][j]=c[i][j-1];
             b[i][j]=3;
         }
     }
}

void LCS(int i,int j,char *x,int **b)///打印出序列x和y的最长子序列
{
    if(i==0||j==0)///递归出口
        return ;
    if(b[i][j]==1)
    {
        LCS(i-1, j-1,x,b);
        cout<<x[i]<<" ";
    }
    else if(b[i][j]==2)
    {
        LCS(i-1, j,x,b);
    }
    else
    {
        LCS(i, j-1,x,b);
    }
}

void Output(char *a,int n)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    cout<<a[i]<<"  ";
    }
    cout <<endl;
}
int main()
{
    int m=9,n=9;
    char x[] = {' ','A','B','C','B','D','A','B','B','O'};
    char y[] = {' ','B','D','C','A','B','A','B','B','O'};

    int **c = new int *[m+1];
    int **b = new int *[m+1];
    for(int i=0;i<=m;i++)
    {
        c[i] = new int[n+1];
        b[i] = new int[n+1];
    }

    cout<<"序列X："<<endl;
    Output(x,m);
    cout<<"序列Y："<<endl;
    Output(y,n);
    LCSLenght( m,n,x,y,c,b);

    cout<<"序列X、Y最长公共子序列长度为："<<c[m][n]<<endl;
    cout<<endl<<endl<<"序列X、Y最长公共子序列为："<<endl;
    LCS(m,n,x,b);
    cout<<endl;
}

下面是运行的结果：