Primal-Dual原对偶问题大致介绍

最新推荐文章于 2024-12-17 17:54:37 发布

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分类专栏：对偶学习 primal-dual method 文章标签：机器学习

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_37959202/article/details/111614362

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本文介绍了线性规划的基本概念及其在多项式时间内求解的特性，强调了primal-dual方法在凸优化和组合优化中的重要性。线性规划的原问题和对偶问题通过拉格朗日对偶函数、KKT条件和Slater条件进行表述，并探讨了强对偶和弱对偶的性质。互补松弛条件是判断最优解的关键，而primal-dual算法通过迭代寻找满足这些条件的解。此外，文章还以set-cover问题为例展示了这种方法的应用。

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简介

线性规划技术是多项式时间可解的。通过将整数规划松弛为线性规划后（如将 $x\in\{0,1\}$ 松弛为 $x\geq0$ ）,得到一个分数解（fractional），之后再将分数解进行取整得到整数规划的整数解。
其中primal-dual方法是一种被广泛使用的优化方法，在凸优化和组合优化上有很多应用；其在NP-hard问题的近似算法上也有广泛的使用。下文通过线性规划上的primal-dual方法的应用，进行简单的介绍。
有一篇关于对偶和拉格朗日对偶问题的描述：优化方法：原问题和拉格朗日对偶问题（primal-dual）。其详细介绍了拉格朗日函数，拉格朗日对偶函数，以及一个通过图片直觉的感受拉格朗日对偶函数为凹函数的一个例子。介绍了 KKT 条件和 Slater 条件。
关于仿射函数可以理解为将一个向量x从n维空间映射到m维空间上，具体定义可以参考仿射函数百度百科

线性规划的原对偶（primal-dual）问题

形式化描述：
(Primal): $min\sum_{i=1}^nc_ix_i$
$s.t.\ \ for \ \ any \ \ \ 1\leq j\leq m:$
$\sum_{i=1}^na_{ij}x_i\geq b_j, \ \ \forall \ 1\leq i\leq n, \ x_i\geq 0$