本文深入探讨了优化领域的核心概念——对偶问题及其在不同场景下的应用。通过对偶问题的下界特性、强对偶性和弱对偶性的阐述，揭示了原问题与对偶问题之间的紧密联系。同时，文章特别关注了线性问题中对偶问题的结构特征，以及拉格朗日乘子在转换过程中的重要角色。此外，通过实例解析，展示了对偶问题在解决实际问题中的优势，如如何利用对偶问题直接求解原始问题的解。
定义：
这是优化界的一种方法，对偶问题为原问题提供了一个下界。primal和dual问题本来是会存在一个dual gap。如果有个比较强的约束条件（KTT）（when the problem is convex and satisfies ），那么dual gap=0.这叫做强对偶，那么就可以根据dual问题直接求得primal问题的解。而一般dual gap=primal-dual>0，称为弱对偶性。
线性：
如果原问题有n个变量，m个限制条件，那么对偶问题就有m个对偶变量，n个限制条件。
即使初始问题是non-convex，但是拉格朗日dual problem是convex的。
拉格朗日的乘子就是拉格朗日对偶变量。
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