51NOD1284 2 3 5 7的倍数

本文介绍了一个利用容斥原理解决数学问题的方法:计算1到N范围内不是2、3、5、7任一质数倍数的整数数量。通过示例说明了算法的具体实现过程。

给出一个数N,求1至N中,有多少个数不是2 3 5 7的倍数。 例如N = 10,只有1不是2 3 5 7的倍数。
Input
输入1个数N(1 <= N <= 10^18)。
Output
输出不是2 3 5 7的倍数的数共有多少。
Input示例
10
Output示例
1


容斥定理


#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
	long long n;
	cin>>n;
	long long t=n;
	n-=(t/2);
	n-=(t/3);
	n-=(t/5);
	n-=(t/7);
	n+=((t/6)+(t/10)+(t/14)+(t/15)+(t/21)+(t/35));
	n-=((t/30)+(t/42)+(t/70)+(t/105));
	n+=(t/210);
	cout<<n<<endl;
}


### 关于51Nod 3100 上台阶问题的C++解法 #### 题目解析 该题目通常涉及斐波那契列的应用。假设每次可以走一步或者两步,那么到达第 \( n \) 层台阶的方法总等于到达第 \( n-1 \) 层和第 \( n-2 \) 层方法之和。 此逻辑可以通过动态规划来解决,并且为了防止值过大,需要对结果取模操作(如 \( \% 100003 \)[^1])。以下是基于上述思路的一个高效实现: ```cpp #include <iostream> using namespace std; const int MOD = 100003; long long f[100010]; int main() { int n; cin >> n; // 初始化前两项 f[0] = 1; // 到达第0层有1种方式(不移动) f[1] = 1; // 到达第1只有1种方式 // 动态规划计算f[i] for (int i = 2; i <= n; ++i) { f[i] = (f[i - 1] + f[i - 2]) % MOD; } cout << f[n] << endl; return 0; } ``` 以上代码通过组 `f` 存储每层台阶的结果,利用循环逐步填充至目标层 \( n \),并最终输出结果。 --- #### 时间复杂度分析 由于仅需一次线性遍历即可完成所有状态转移,时间复杂度为 \( O(n) \)。空间复杂度同样为 \( O(n) \),但如果优化存储,则可进一步降低到 \( O(1) \): ```cpp #include <iostream> using namespace std; const int MOD = 100003; int main() { int n; cin >> n; long long prev2 = 1, prev1 = 1, current; if (n == 0 || n == 1) { cout << 1 << endl; return 0; } for (int i = 2; i <= n; ++i) { current = (prev1 + prev2) % MOD; prev2 = prev1; prev1 = current; } cout << prev1 << endl; return 0; } ``` 在此版本中,只保留最近两个状态变量 (`prev1`, `prev2`) 来更新当前值,从而节省内存开销。 --- #### 输入输出说明 输入部分接受单个整 \( n \),表示台阶量;程序会返回从地面走到第 \( n \) 层的不同路径目,结果经过指定模运算处理以适应大范围据需。 ---
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