瑞利商

瑞利商

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瑞利商

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瑞利商

首先给出瑞利商的定义
$$R(A,x)=\frac{x^{T}Ax}{x^{T}x}$$
$A$ 为一个$n\ast n$的对称矩阵。

它经常在一些统计问题中出现，因此在此记录其性质

我们记 $A$ 的特征值以及对应的特征向量为${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n;v_1,v_2,...,v_n$;且有
$${\lambda }_{min}={\lambda }_1\le {\lambda }_2\le ...\le {\lambda }_n={\lambda }_{max}$$

则瑞利商的性质为：

$$\underset{x}{\max }R(A,x)={\lambda }_n$$ $$\underset{x}{\min }R(A,x)={\lambda }_1$$

下面给出证明

由于 $A$ 为对称矩阵，所以存在一个正交矩阵 $U$ 使其特征值分解为 $$M=U\Gamma U^T$$
其中 $\Gamma =diag({\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n)$ 为只由 $A$ 的特征值构成对角线值的矩阵。

如此，我们将初始形式转化为

$$\begin{array}{rl}R(A,x)& =\frac{x^{T}U\Gamma U^{T}x}{x^{T}x}\\ & =\frac{(U^{T}x{)}^T\Gamma (U^{T}x)}{x^{T}x}\end{array}$$

令 $y=U^{T}x$

我们有

$$\begin{array}{rl}R(A,x)& =\frac{y^T\Gamma y}{x^{T}x}\\ & \end{array}$$