高斯消元解异或方程组-开关问题

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愈努力俞幸运

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组合数学-高斯消元法专栏收录该内容

8 篇文章

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本文通过五道经典开关灯问题（EXTENDED LIGHTS OUT、Painter's Problem、Flip Game、The Water Bowls 和开关问题），介绍了如何利用高斯消元法求解线性方程组，并详细展示了如何构造增广矩阵、进行高斯消元求解唯一解、无解及无穷解情况的过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

poj 1222 EXTENDED LIGHTS OUT

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<iomanip>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=40;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int a[maxn][maxn];//增广矩阵
int x[maxn];//解集；
int free_x[maxn];//用来储存自由变元(多解枚举自由变元使用)
int free_num;//不确定变元的个数
//有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,
//分别为0-equ-1,列数为var+1,分别为0到var
int equ,var;
int gauss()
{
    int i,j,k;
    int col;//当前处理的列
    int max_r;//当前这列绝对值最大的行
    free_num=0;
    //化为上三角
    for(k=0,col=0;k<equ&&col<var;k++,col++)
    {
        max_r=k;
        for(i=k+1;i<equ;i++)
        {
            if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col]))
                max_r=i;
        }
        if(a[max_r][col]==0)
        {//绝对值最大是0，说明该col列k行一下全为零，则处理该行的下一列
            k--;
            free_x[free_num++]=col;//这个是自由变元
            continue;
        }
        if(max_r!=k)
        {
            for(i=col;i<=var;i++)
                swap(a[k][i],a[max_r][i]);
        }
        //找到该col列(当前处理的列)绝对值最大的那行与第k行交换(为了在除法时减少误差)
        for(i=k+1;i<equ;i++)//枚举要消去的行
        {
            if(a[i][col])
                {
                    for(j=col;j<=var;j++)
                        a[i][j]^=a[k][j];
                }
        }
    }
    // //此时k的值表示的是系数矩阵的值都为0的那些行的第一行
    for(i=k;i<equ;i++)
    {
        if(a[i][col])
            return -1;//无解
    }
    if(var>k)//无穷解
        return var-k;//自由变元个数
    for(i=var-1;i>=0;i--)//唯一解
    {
        x[i]=a[i][var];
        for(j=i+1;j<var;j++)
            x[i]^=(a[i][j]&&x[j]);
    }
    return 0;
}
void dfs(int x,int y)
{
    int t=x*6+y;
    int dx[2]={1,-1};
    int dy[2]={1,-1};
    a[t][t]=1;//对自己的影响！
    for(int i=0;i<2;i++)
    {
        if(y+dx[i]>=0&&y+dx[i]<=5)
        {
            int tt=x*6+y+dx[i];
            a[tt][t]=1;
        }
    }
    for(int i=0;i<=2;i++)
    {
        if(x+dy[i]>=0&&x+dy[i]<=4)
        {
            int tt=(x+dy[i])*6+y;
            a[tt][t]=1;
        }
    }
}
int main()
{
    int n,i,j,ca,l,d,res;
    ca=0;
    scanf("%d",&n);
    while(n--)
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
        memset(x,0,sizeof(x));
        l=0;
        for(i=0;i<5;i++)
        {
            for(j=0;j<6;j++)
              {
                  scanf("%d",&d);
                  a[l++][30]=d;//构造增广矩阵
              }
        }
        for(i=0;i<5;i++)
        {
            for(j=0;j<6;j++)
                dfs(i,j);//构造曾广矩阵,按列赋值
        }
        equ=var=30;
        res=gauss();
        printf("PUZZLE #%d\n",++ca);
        for(i=0;i<30;i++)
        {
            printf("%d",x[i]);
            if((i+1)%6==0)
                printf("\n");
            else
            printf(" ");
        }
    }
}

poj 1681 Painter's Problem

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<iomanip>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=16*16;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int a[maxn][maxn];//增广矩阵
int x[maxn];//解集；
int free_x[maxn];//用来储存自由变元(多解枚举自由变元使用)
int free_num;//不确定变元的个数
//有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,
//分别为0-equ-1,列数为var+1,分别为0到var
int equ,var;
int gauss()
{
    int i,j,k;
    int col;//当前处理的列
    int max_r;//当前这列绝对值最大的行
    free_num=0;
    //化为上三角
    for(k=0,col=0;k<equ&&col<var;k++,col++)
    {
        max_r=k;
        for(i=k+1;i<equ;i++)
        {
            if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col]))
                max_r=i;
        }
        if(a[max_r][col]==0)
        {//绝对值最大是0，说明该col列k行一下全为零，则处理该行的下一列
            k--;
            free_x[free_num++]=col;//这个是自由变元
            continue;
        }
        if(max_r!=k)
        {
            for(i=col;i<=var;i++)
                swap(a[k][i],a[max_r][i]);
        }
        //找到该col列(当前处理的列)绝对值最大的那行与第k行交换(为了在除法时减少误差)
        for(i=k+1;i<equ;i++)//枚举要消去的行
        {
            if(a[i][col])
                {
                    for(j=col;j<=var;j++)
                        a[i][j]^=a[k][j];
                }
        }
    }
    // //此时k的值表示的是系数矩阵的值都为0的那些行的第一行
    for(i=k;i<equ;i++)
    {
        if(a[i][col])
            return -1;//无解
    }
    if(var>k)//无穷解
        return var-k;//自由变元个数
    for(i=var-1;i>=0;i--)//唯一解
    {
        x[i]=a[i][var];
        for(j=i+1;j<var;j++)
            x[i]^=(a[i][j]&&x[j]);
    }
    return 0;
}
void dfs(int x,int y,int n)
{
    int t=x*n+y;
    int dx[2]={1,-1};
    int dy[2]={1,-1};
    a[t][t]=1;//对自己的影响！
    for(int i=0;i<2;i++)
    {
        if(y+dx[i]>=0&&y+dx[i]<=n-1)
        {
            int tt=x*n+y+dx[i];
            a[tt][t]=1;
        }
    }
    for(int i=0;i<=2;i++)
    {
        if(x+dy[i]>=0&&x+dy[i]<=n-1)
        {
            int tt=(x+dy[i])*n+y;
            a[tt][t]=1;
        }
    }
}
int solve()
{
    int t=gauss();
    if(t==-1)
        return -1;//无解
    else if(t==0)//唯一解
    {
        int ans=0;
        for(int i=0;i<equ;i++)
            ans+=x[i];//按几下，即x[i]有几个1
        return ans;
    }
    else//无穷解，枚举自由变元，找出最小的步数
    {
        int ans=inf;
        int tot=(1<<t);//t=var-k;
        for(int i=0;i<tot;i++)
        {
            int cnt=0;
            for(int j=0;j<t;j++)
            {
                if(i&(1<<j))
                {
                    x[free_x[j]]=1;
                    cnt++;
                }
                else
                    x[free_x[j]]=0;
            }
            for(int j=var-t-1;j>=0;j--)
            {
                int idx;
                for(idx=j;idx<var;idx++)
                    if(a[j][idx])
                    break;
                x[idx]=a[j][var];
                for(int l=idx+1;l<var;l++)
                    if(a[j][l])
                    x[idx]^=x[l];
                cnt+=x[idx];
            }
            ans=min(ans,cnt);
        }
        return ans;
    }
}
int main()
{
    int t,n,i,j,l,res;
    string s;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&n);
        equ=var=n*n;
        memset(a,0,sizeof(a));
        memset(x,0,sizeof(x));
        l=0;
        for(i=0;i<n;i++)
        {
            cin>>s;
            for(j=0;j<n;j++)
            {
                if(s[j]=='y')
                    a[l++][n*n]=0;
                else
                    a[l++][n*n]=1;
            }
        }
        for(i=0;i<n;i++)
        {
            for(j=0;j<n;j++)
            {
                dfs(i,j,n);
            }
        }
        res=solve();
        if(res==-1)
            printf("inf\n");
        else
            printf("%d\n",res);
    }
}

poj 1753 Flip Game

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<iomanip>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=16*16;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int a[maxn][maxn];//增广矩阵
int x[maxn];//解集；
int free_x[maxn];//用来储存自由变元(多解枚举自由变元使用)
int free_num;//不确定变元的个数
//有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,
//分别为0-equ-1,列数为var+1,分别为0到var
int equ,var;
int gauss()
{
    int i,j,k;
    int col;//当前处理的列
    int max_r;//当前这列绝对值最大的行
    free_num=0;
    //化为上三角
    for(k=0,col=0;k<equ&&col<var;k++,col++)
    {
        max_r=k;
        for(i=k+1;i<equ;i++)
        {
            if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col]))
                max_r=i;
        }
        if(a[max_r][col]==0)
        {//绝对值最大是0，说明该col列k行一下全为零，则处理该行的下一列
            k--;
            free_x[free_num++]=col;//这个是自由变元
            continue;
        }
        if(max_r!=k)
        {
            for(i=col;i<=var;i++)
                swap(a[k][i],a[max_r][i]);
        }
        //找到该col列(当前处理的列)绝对值最大的那行与第k行交换(为了在除法时减少误差)
        for(i=k+1;i<equ;i++)//枚举要消去的行
        {
            if(a[i][col])
                {
                    for(j=col;j<=var;j++)
                        a[i][j]^=a[k][j];
                }
        }
    }
    // //此时k的值表示的是系数矩阵的值都为0的那些行的第一行
    for(i=k;i<equ;i++)
    {
        if(a[i][col])
            return -1;//无解
    }
    if(var>k)//无穷解
        return var-k;//自由变元个数
    for(i=var-1;i>=0;i--)//唯一解
    {
        x[i]=a[i][var];
        for(j=i+1;j<var;j++)
            x[i]^=(a[i][j]&&x[j]);
    }
    return 0;
}
void dfs(int x,int y)
{
    int t=x*4+y;
    int dx[2]={1,-1};
    int dy[2]={1,-1};
    a[t][t]=1;
    for(int i=0;i<2;i++)
    {
        if(y+dx[i]>=0&&y+dx[i]<=3)
        {
            int tt=x*4+y+dx[i];
            a[tt][t]=1;
        }
    }
    for(int i=0;i<2;i++)
    {
        if(x+dy[i]>=0&&x+dy[i]<=3)
        {
            int tt=(x+dy[i])*4+y;
            a[tt][t]=1;
        }
    }
}
int solve()
{
    int t=gauss();
    if(t==-1)
        return -1;//无解
    else if(t==0)//唯一解
    {
        int ans=0;
        for(int i=0;i<equ;i++)
            ans+=x[i];//按几下，即x[i]有几个1
        return ans;
    }
    else//无穷解，枚举自由变元，找出最小的步数
    {
        int ans=inf;
        int tot=(1<<t);//t=var-k;
        for(int i=0;i<tot;i++)
        {
            int cnt=0;
            for(int j=0;j<t;j++)
            {
                if(i&(1<<j))
                {
                    x[free_x[j]]=1;
                    cnt++;
                }
                else
                    x[free_x[j]]=0;
            }
            for(int j=var-t-1;j>=0;j--)
            {
                int idx;
                for(idx=j;idx<var;idx++)
                    if(a[j][idx])
                    break;
                x[idx]=a[j][var];
                for(int l=idx+1;l<var;l++)
                    if(a[j][l])
                    x[idx]^=x[l];
                cnt+=x[idx];
            }
            ans=min(ans,cnt);
        }
        return ans;
    }
}
int main()
{
    int i,j,res1,res2,l;
    string s,ss[10];
    l=0;
    memset(a,0,sizeof(a));
    memset(x,0,sizeof(x));
    for(i=0;i<4;i++)
    {
       cin>>s;
       ss[i]=s;
       for(j=0;j<4;j++)
       {
           if(s[j]=='b')
            a[l++][16]=1;
            else
            //l++;
            a[l++][16]=0;
       }
    }//cout<<l<<endl;
    for(i=0;i<4;i++)
    {
        for(j=0;j<4;j++)
            dfs(i,j);
    }
    equ=var=16;
    res1=solve();
    memset(a,0,sizeof(a));
    memset(x,0,sizeof(x));
    l=0;
    for(i=0;i<4;i++)
    {
        //cout<<ss[i]<<endl;
        for(j=0;j<4;j++)
        {
            if(ss[i][j]=='w')
                a[l++][16]=1;
            else
                //l++;
                a[l++][16]=0;
        }
    }//cout<<l<<endl;
    for(i=0;i<4;i++)
    {
        for(j=0;j<4;j++)
            dfs(i,j);
    }
    res2=solve();
    //cout<<res1<<" "<<res2<<endl;
    if(res1==-1&&res2==-1)
    printf("Impossible\n");
    else if(res1==-1)
    printf("%d\n",res2);
    else if(res2==-1)
     printf("%d\n",res1);
    else
    printf("%d\n",min(res1,res2));
}

poj 3185 The Water Bowls

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<iomanip>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=16*16;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int a[maxn][maxn];//增广矩阵
int x[maxn];//解集；
int free_x[maxn];//用来储存自由变元(多解枚举自由变元使用)
int free_num;//不确定变元的个数
//有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,
//分别为0-equ-1,列数为var+1,分别为0到var
int equ,var;
int gauss()
{
    int i,j,k;
    int col;//当前处理的列
    int max_r;//当前这列绝对值最大的行
    free_num=0;
    //化为上三角
    for(k=0,col=0;k<equ&&col<var;k++,col++)
    {
        max_r=k;
        for(i=k+1;i<equ;i++)
        {
            if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col]))
                max_r=i;
        }
        if(a[max_r][col]==0)
        {//绝对值最大是0，说明该col列k行一下全为零，则处理该行的下一列
            k--;
            free_x[free_num++]=col;//这个是自由变元
            continue;
        }
        if(max_r!=k)
        {
            for(i=col;i<=var;i++)
                swap(a[k][i],a[max_r][i]);
        }
        //找到该col列(当前处理的列)绝对值最大的那行与第k行交换(为了在除法时减少误差)
        for(i=k+1;i<equ;i++)//枚举要消去的行
        {
            if(a[i][col])
                {
                    for(j=col;j<=var;j++)
                        a[i][j]^=a[k][j];
                }
        }
    }
    // //此时k的值表示的是系数矩阵的值都为0的那些行的第一行
    for(i=k;i<equ;i++)
    {
        if(a[i][col])
            return -1;//无解
    }
    if(var>k)//无穷解
        return var-k;//自由变元个数
    for(i=var-1;i>=0;i--)//唯一解
    {
        x[i]=a[i][var];
        for(j=i+1;j<var;j++)
            x[i]^=(a[i][j]&&x[j]);
    }
    return 0;
}
void dfs(int x,int y)
{
    int t=x*20+y;
    int dx[2]={1,-1};
    a[t][t]=1;
    for(int i=0;i<2;i++)
    {
        if(y+dx[i]>=0&&y+dx[i]<=19)
        {
            int tt=x*20+y+dx[i];
            a[tt][t]=1;
        }
    }
}
int solve()
{
    int t=gauss();
    if(t==-1)
        return -1;//无解
    else if(t==0)//唯一解
    {
        int ans=0;
        for(int i=0;i<equ;i++)
            ans+=x[i];//按几下，即x[i]有几个1
        return ans;
    }
    else//无穷解，枚举自由变元，找出最小的步数
    {
        int ans=inf;
        int tot=(1<<t);//t=var-k;
        for(int i=0;i<tot;i++)
        {
            int cnt=0;
            for(int j=0;j<t;j++)
            {
                if(i&(1<<j))
                {
                    x[free_x[j]]=1;
                    cnt++;
                }
                else
                    x[free_x[j]]=0;
            }
            for(int j=var-t-1;j>=0;j--)
            {
                int idx;
                for(idx=j;idx<var;idx++)
                    if(a[j][idx])
                    break;
                x[idx]=a[j][var];
                for(int l=idx+1;l<var;l++)
                    if(a[j][l])
                    x[idx]^=x[l];
                cnt+=x[idx];
            }
            ans=min(ans,cnt);
        }
        return ans;
    }
}
int main()
{
    int i,j,d,l,res;
    memset(a,0,sizeof(a));
    memset(x,0,sizeof(x));
    l=0;
    for(i=0;i<20;i++)
    {
        scanf("%d",&d);
        a[l++][20]=d;
    }
    for(i=0;i<1;i++)
    {
        for(j=0;j<20;j++)
        {
            dfs(i,j);
        }
    }
    equ=var=20;
    res=solve();
    printf("%d\n",res);
}

poj 1830 开关问题

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<iomanip>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=16*16;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int a[maxn][maxn];//增广矩阵
int x[maxn];//解集；
int free_x[maxn];//用来储存自由变元(多解枚举自由变元使用)
int free_num;//不确定变元的个数
//有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,
//分别为0-equ-1,列数为var+1,分别为0到var
int equ,var;
int gauss()
{
    int i,j,k;
    int col;//当前处理的列
    int max_r;//当前这列绝对值最大的行
    free_num=0;
    //化为上三角
    for(k=0,col=0;k<equ&&col<var;k++,col++)
    {
        max_r=k;
        for(i=k+1;i<equ;i++)
        {
            if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col]))
                max_r=i;
        }
        if(a[max_r][col]==0)
        {//绝对值最大是0，说明该col列k行一下全为零，则处理该行的下一列
            k--;
            free_x[free_num++]=col;//这个是自由变元
            continue;
        }
        if(max_r!=k)
        {
            for(i=col;i<=var;i++)
                swap(a[k][i],a[max_r][i]);
        }
        //找到该col列(当前处理的列)绝对值最大的那行与第k行交换(为了在除法时减少误差)
        for(i=k+1;i<equ;i++)//枚举要消去的行
        {
            if(a[i][col])
                {
                    for(j=col;j<=var;j++)
                        a[i][j]^=a[k][j];
                }
        }
    }
    // //此时k的值表示的是系数矩阵的值都为0的那些行的第一行
    for(i=k;i<equ;i++)
    {
        if(a[i][col])
            return -1;//无解
    }
    return 1<<(var-k);
}
void dfs(int x,int y)
{
    int t=x*20+y;
    int dx[2]={1,-1};
    a[t][t]=1;
    for(int i=0;i<2;i++)
    {
        if(y+dx[i]>=0&&y+dx[i]<=19)
        {
            int tt=x*20+y+dx[i];
            a[tt][t]=1;
        }
    }
}
int main()
{
    int k,n,aaa,bbb,i,c[maxn],d[maxn],l,j,res;
    scanf("%d",&k);
    while(k--)
    {
        scanf("%d",&n);
        for(i=0;i<n;i++)
            scanf("%d",&c[i]);
        for(i=0;i<n;i++)
            scanf("%d",&d[i]);
        l=0;
        memset(a,0,sizeof(a));
        for(i=0;i<n;i++)
        {
            a[l++][n]=c[i]^d[i];
        }
        for(i=0;i<n;i++)
            a[i][i]=1;
        while(scanf("%d%d",&aaa,&bbb))
        {
            if(aaa==0&&bbb==0)
                break;
            aaa-=1;
            bbb-=1;
            a[bbb][aaa]=1;
        }
        equ=var=n;
        res=gauss();
        if(res==-1)
            printf("Oh,it's impossible~!!\n");
        else
            printf("%d\n",res);
    }
}