1.高斯消元
我们把每一件商品的价格看作是x[1]..x[n]，第i个组合中第j件商品数量记为a[i][j]，其价格记作y[i]，则可以列出方程式：
a[1][1] * x[1] + a[1][2] * x[2] + ... + a[1][n] * x[n] = y[1]
a[2][1] * x[1] + a[2][2] * x[2] + ... + a[2][n] * x[n] = y[2]
...
a[m][1] * x[1] + a[m][2] * x[2] + ... + a[m][n] * x[n] = y[m]
我们可以对方程组进行3种操作而不改变方程组的解集：
1. 交换两行。
2. 把第i行乘以一个非0系数k。即对于j = 1..n， 令a[i][j] = k*a[i][j], y[i]=k*y[i]
3. 把第p行乘以一个非0系数k之后加在第i行上。即对于j=1..n， 令a[i][j] = a[i][j]+k*a[p][j]，y[i]=y[i]+k*p[i]
以上三个操作叫做初等行变换。
我们可以使用它们，对这个方程组中的a[i][j]进行加减乘除变换，举个例子：
a[1][1] * x[1] + a[1][2] * x[2] + ... + a[1][n] * x[n] = y[1] 式子(1) a[2][1] * x[1] + a[2][2] * x[2] + ... + a[2][n] * x[n] = y[2] 式子(2)
我们可以通过 式子(1) - 式子(2) * (a[1][1] / a[2][1])，将第1行第1列的a[1][1]变换为0。
对整个方程组进行多次变换之后，可以使得a[i][j]满足：
a[i][j] = 1 (i == j) a[i][j] = 0 (i != j)
则整个方程组变成了：
x[1] = y'[1] x[2] = y'[2] ... x[n] = y'[n] 0 = y'[n + 1] 0 = y'[n + 2] ... 0 = y'[m]
这样的话，y'[1] .. y'[n]就是我们要求的x[1]..x[n]
小Hi：挺不错的嘛，继续？
小Ho：好，关于如何变换，我们可以利用一个叫高斯消元的算法。高斯消元分成了2个步骤：
首先我们要计算出上三角矩阵，也就是将方程组变为：
a[1][1] * x[1] + a[1][2] * x[2] + ... + a[1][n] * x[n] = y'[1]
0 * x[1] + a[2][2] * x[2] + ... + a[2][n] * x[n] = y'[2]
0 * x[1] + 0 * x[2] + ... + a[3][n] * x[n] = y'[3]
...
0 * x[1] + 0 * x[2] + ... + a[n][n] * x[n] = y'[n]
0 * x[1] + 0 * x[2] + ... + 0 * x[n] = y'[n + 1]
...
0 * x[1] + 0 * x[2] + ... + 0 * x[n] = y'[m]
也就是通过变换，将所有a[i][j](i>j)变换为0。同时要保证对角线上的元素a[i][i]不为0。
方法也很见简单，从第1行开始，我们利用当前行第i列不为0，就可以通过变换将i+1..M行第一列全部变换为0，接着对于第2行，我们用同样的方法将第3..M行第2列也变换为0...不断重复直到第n行为止。
假如计算到第i行时，第i列已经为0，则我们需要在第i+1..M行中找到一行第i列不为0的行k，并交换第i行和第k行，来保证a[i][i] != 0。但这时候还有可能出现一个情况，就是第i..M行中的i列均为0，此时可以判定，该方程组有多解。
当得到上三角矩阵后，就可以从第n行开始逆推，一步一步将a[i][j](i<j)也变换为0.
因为第n行为a[n][n] * x[n] = y'[n]，则x[n] = y'[n] / a[n][n]。
第n-1行为a[n-1][n-1] * x[n - 1] + a[n][n] * x[n] = y'[n - 1]。我们将得到的x[n]代入，即可计算出x[n-1]。
同样的依次类推就可以得到所有的x[1]..x[n]。
而对于多解和无解的判定：
当在求出的上三角矩阵中出现了 a[i][1] = a[i][2] = ... = a[i][n] = 0, 但是y'[i] != 0时，产生了矛盾，即出现了无解的情况。
而多解的证明如下：
假设n=3,m=3，而我们计算出了上三角矩阵为：
a * x[1] + b * x[2] + c * x[3] = d
e * x[3] = f
0 = 0
当我们在第一个式子中消去x[3]后，有a * x[1] + b * x[2] = g，显然x[1]和x[2]有无穷多种可能的取值。
小Hi：既然小Ho你都已经把整个算法讲了，那么我就只能给出伪代码了：
// 处理出上三角矩阵
For i = 1..N
Flag ← False
For j = i..M // 从第i行开始，找到第i列不等于0的行j
If a[j][i] != 0 Then
Swap(j, i) // 交换第i行和第j行
Flag ← True
Break
End If
End For
// 若无法找到，则存在多个解
If (not Flag) Then
manySolutionsFlag ← True // 出现了秩小于N的情况
continue;
End If
// 消除第i+1行到第M行的第i列
For j = i+1 .. M
a[j][] ← a[j][] - a[i][] * (a[j][i] / a[i][i])
b[j] ← b[j] - b[i] * (a[j][i] / a[i][i])
End For
End For
// 检查是否无解，即存在 0 = x 的情况
For i = 1..M
If (第i行系数均为0 and (b[i] != 0)) Then
return "No solutions"
End If
End For
// 判定多解
If (manySolutionsFlag) Then
return "Many solutions"
End If
// 此时存在唯一解
// 由于每一行都比前一行少一个系数，所以在M行中只有前N行有系数
// 解析来从第N行开始处理每一行的解
For i = N .. 1
// 利用已经计算出的结果，将第i行中第i+1列至第N列的系数消除
For j = i + 1 .. N
b[i] ← b[i] - a[i][j] * value[j]
a[i][j] ← 0
End For
value[i] ← b[i] / a[i][i]
End For
AC代码：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fbs 1e-6
using namespace std;
double a[1001][501];
double c[1001];
double x[501];
int N,M;
void Swap(int i,int j) //交换i，j行
{
for(int k=1;k<=N;k++)
swap(a[i][k],a[j][k]);
swap(c[i],c[j]);
}
int judge(int i) //判断是否全为0
{
for(int j=1;j<=N;j++)
if(a[i][j]!=0)
return 0;
return 1;
}
int Gauss()
{
for(int i=1;i<=N;i++) //处理出上三角矩阵
{
int flag=0;
for(int j=i;j<=M;j++)
{
if(a[j][i]!=0)
{
Swap(j,i);
flag=1;
break;
}
}
if(!flag) //若无法找到，则存在多解
{
printf("Many solutions\n");
return 0;
}
for(int j=i+1;j<=M;j++) //消除第i+1行到第M行的第i列
{
double mul=a[j][i]/a[i][i];
for(int k=i;k<=N;k++)
a[j][k]-=mul*a[i][k];
c[j]-=c[i]*mul;
}
}
for(int i=1;i<=M;i++) //判断是否无解
if(judge(i)&&(c[i]>fbs||c[i]<-fbs))
{
printf("No solutions\n");
return 0;
}
//求出唯一解
for(int i=N;i>0;i--)
{
for(int j=i+1;j<=N;j++)
{
c[i]-=a[i][j]*x[j];
a[i][j]=0;
}
x[i]=c[i]/a[i][i];
}
return 1;
}
int main()
{
scanf("%d %d",&N,&M);
for(int i=1;i<=M;i++)
{
for(int j=1;j<=N;j++)
scanf("%lf",&a[i][j]);
scanf("%lf",&c[i]);
}
if(Gauss())
for(int i=1;i<=N;i++)
printf("%d\n",int(x[i]+0.5));
return 0;
}2.异或方程组
首先对于每一个格子的状态，可能会对它造成影响的是其自身和周围4个格子，这五个格子被按下的总次数也就等于该格子所改变的总次数。
对于任意一个格子，如果这个格子改变了偶数次状态，则等价于没有发生改变。
我们可以将1看作格子亮着，0看作格子暗着，每改变1次就加1，最后格子的状态等于其总数值 MOD 2。
则其运算结果刚好满足异或运算，即每改变一次等于状态值 xor 1。
同样的对于一个格子和它周围的4个格子来说，若格子被按下偶数次，它自身和周围4个格子的状态也等于没有发生改变。所以我们可以知道：任意一个格子至多被按下一次。
假设有数组x[1..30]，分别表示这30个格子是否按下1次，若按下则x[i]=1，否则x[i]=0。
则对于1个格子，他最后的状态为：
当前状态 = 初始状态 xor (a[1] * x[1]) xor (a[2] * x[2]) xor ... xor (a[30] * x[30])
其中a[i]表示格子i是否会对当前格子产生影响，若能够则a[i] = 1，否则a[i] = 0
对方程进行变换有：
(a[1] * x[1]) xor (a[2] * x[2]) xor ... xor (a[30] * x[30]) = 当前状态 xor 初始状态
因为我们的目标是要让所有等格子都为亮的状态，故我们需要让 当前状态 = 1，则：
(a[1] * x[1]) xor (a[2] * x[2]) xor ... xor (a[30] * x[30]) = 1 xor 初始状态
不妨设y = 1 xor 初始状态：
(a[1] * x[1]) xor (a[2] * x[2]) xor ... xor (a[30] * x[30]) = y
对于所有的格子，我们可以连立出方程组：
(a[ 1][1] * x[1]) xor (a[ 1][2] * x[2]) xor ... xor (a[ 1][30] * x[30]) = y[ 1]
(a[ 2][1] * x[1]) xor (a[ 2][2] * x[2]) xor ... xor (a[ 2][30] * x[30]) = y[ 2]
...
(a[30][1] * x[1]) xor (a[30][2] * x[2]) xor ... xor (a[30][30] * x[30]) = y[30]
到此，我们的目标就是求出一个x[1..30]，使得上面的方程组成立。
小Ho：这个看上去和高斯消元很像啊。
小Hi：没错，这个方程组叫异或方程组，它可以用和高斯消元同样的方法来解决。
其解答过程几乎和高斯消元无异，判定无解和多解的方式也相同。唯一需要注意的是消元过程不再是高斯消元的加减，而是通过xor运算来进行消元。比如消除第j行第i列的1：
a[j][k] = a[j][k] xor a[i][k], y[j] = y[j] xor y[i]
其原理是：
(a[j][1] * x[1]) xor (a[j][2] * x[2]) xor ... xor (a[j][30] * x[30]) xor (a[i][1] * x[1]) xor (a[i][2] * x[2]) xor ... xor (a[ i][30] * x[30]) = y[j] xor y[i] <=> ((a[j][1] * x[1]) xor (a[i][1] * x[1])) xor (((a[j][2] * x[2]) xor (a[i][2] * x[2]))) xor ... xor ((a[j][30] * x[30]) xor (a[i][30] * x[30])) = y[j] xor y[i]<=> ((a[j][1] xor a[i][1]) * x[1]) xor ((a[j][2] xor a[i][2]) * x[2]) xor ... ((a[j][30] xor a[i][30]) * x[30]) = y[j] xor y[i]
而且由于给定游戏板是固定的，我们可以知道a[i][j]矩阵一定是固定的，而且通过计算可以知道我们消元得到的上三角矩阵也是固定的，并且在这一次的问题中该上三角矩阵是满秩的，所以其一定存在唯一解。
AC代码：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
int c[31];
int a[31][31]; //i受j的影响
int go[4][2]={{1,0},{-1,0},{0,1},{0,-1}};
int x[31];
vector<int>v;
void Init()
{
int x,y,now,then;
memset(a,0,sizeof(a));
v.clear();
for(int i=1;i<=5;i++)
{
for(int j=1;j<=6;j++)
{
now=6*(i-1)+j;
a[now][now]=1;
for(int k=0;k<4;k++)
{
x=i+go[k][0];
y=j+go[k][1];
if(x>=1&&x<=5&&y>=1&&y<=6)
{
then=6*(x-1)+y;
a[now][then]=1;
}
}
}
}
}
void Swap(int i,int j) //交换i，j行
{
for(int k=1;k<=30;k++)
swap(a[i][k],a[j][k]);
swap(c[i],c[j]);
}
void Gauss()
{
for(int i=1;i<=30;i++) //处理出上三角矩阵
{
for(int j=i;j<=30;j++)
{
if(a[j][i])
{
Swap(j,i);
break;
}
}
for(int j=1;j<=30;j++) //消除第i+1行到第M行的第i列
{
if(j!=i&&a[j][i])
{
for(int k=i;k<=30;k++)
a[j][k]^=a[i][k];
c[j]^=c[i];
}
}
}
}
int main()
{
char s[7];
int k=1;
for(int i=0;i<5;i++)
{
scanf("%s",s);
for(int j=0;j<6;j++)
c[k++]=(s[j]-'0')^1;
}
Init();
Gauss();
int sum=0;
for(int i=1;i<=30;i++)
{
if(c[i])
{
v.push_back(i);
sum++;
}
}
printf("%d\n",sum);
int x,y;
sort(v.begin(),v.end());
for(int i=0;i<v.size();i++)
{
x=(v[i]-1)/6+1;
y=v[i]%6;
if(y==0)
y=6;
printf("%d %d\n",x,y);
}
return 0;
}
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