解题篇 -- 和为S的连续正序序列

---

题目描述

牛客网：JZ41 和为S的连续正数序列
小明很喜欢数学,有一天他在做数学作业时,要求计算出9~16的和,他马上就写出了正确答案是100。但是他并不满足于此,他在想究竟有多少种连续的正数序列的和为100(至少包括两个数)。没多久,他就得到另一组连续正数和为100的序列:18,19,20,21,22。现在把问题交给你,你能不能也很快的找出所有和为S的连续正数序列? Good Luck!

说明： 输出所有和为S的连续正数序列。序列内按照从小至大的顺序，序列间按照开始数字从小到大的顺序

示例：
输入：9
输出：[[2,3,4],[4,5]]

题目解析

找到和为给定值的连续正数序列，有以下几种方法：

方法一：左右边界枚举

相当于在连续的正数序列中找出和为S的子序列，可通过确认左右边界找到子序列。

• 首先，确认左边界。根据题目要求：
  （1）至少包含两个数
  （2）序列内从小到大排序
  （3）序列间按开始数字从小到达排序
  左边界从1开始，依次递增，最大为（S / 2）
• 然后，确认右边界。假设左边界为i，右边界为j，以i为开始数字的序列和为s，则从j = i + 1开始，比较s和S的大小，若s < S，则右边界j加1，若s > S，则不满足题意，左边界加1,进行下一循环
• 若 s == S,则找到一个满足条件的序列，即从i到j，满足大小排序要求，将其加入结果集。

代码：

public ArrayList<ArrayList<Integer> > FindContinuousSequence(int sum) {
       ArrayList<ArrayList<Integer>> ans = new ArrayList<ArrayList<Integer>>();
       // 不存在至少包含两个连续正数的序列和等于2
       if(sum <= 2){
           return ans;
       }
       // 确认左边界
       for(int i = 1;i < (sum + 1) / 2;i++){
           int j = i + 1;
           int s = i;
           // 确认右边界
           while(s + j < sum){
               s += j;
               j++;
           }
           if(s + j == sum){
               ArrayList<Integer> temp = new ArrayList<Integer>();
               for(int k = i;k <= j;k++){
                   temp.add(k);
               }
               ans.add(temp);
           }else{
               continue;
           }           
       }
        return ans;
    }

时间复杂度：O(n²)

方法二：滑动窗口

滑动窗口同样由左右边界来界定，始终从左向右滑动，即左右边界也都向右移动。假设左右边界分别为i、j

• 窗口内的序列和小于S时，需要扩大窗口，右边界右移
• 窗口内的序列和大于S时，需要缩小窗口，左边界右移
• 窗口内的序列和等于S时，保存结果序列[i,j - 1]。然后缩小窗口，重复上述操作。

代码：

public ArrayList<ArrayList<Integer> > FindContinuousSequence(int sum) {
        ArrayList<ArrayList<Integer>> ans = new ArrayList<ArrayList<Integer>>();
        if(sum <= 2){
            return ans;
        }
        int left = 1,right = 1;
        int s = 0;
        while(left < (sum + 1) / 2){
        	// 扩大窗口
            if(s < sum){
                s += right;
                right++;
            }else if(s > sum){ // 缩小窗口
                s -= left;
                left++;
            }else{
                ArrayList<Integer> temp = new ArrayList<Integer>();
                for(int k = left;k < right;k++){
                    temp.add(k);
                }
                ans.add(temp);
                s -= left;
                left++;
            }
        }
        return ans;
    }

时间复杂度：O(n)

方法三：前缀和

在连续正数序列nums中，假设s[n] = ${\sum }_{i=0}^{n}num[i]$,即从0到i的序列和，若存在s[j] - s[i] = S,则序列[i + 1,j]满足题意.
为了把1开始的序列考虑在内，i从0开始计算
用数组s[S]记录所有的序列和，问题就转换成了在数组s中找到差值等于S的两个数

• 可以先求出所有的s[S]，然后遍历数组找到i和j，需循环遍历两次
• 用哈希表记录每个位置的序列和和下标，遍历依次即可

代码：

public ArrayList<ArrayList<Integer> > FindContinuousSequence(int sum) {
        ArrayList<ArrayList<Integer>> ans = new ArrayList<ArrayList<Integer>>();
        // 不存在至少包含两个连续正数的序列和等于2
        if(sum <= 2){
            return ans;
        }
        // 存放序列和和对应的位置
        Map<Integer,Integer> map = new HashMap<>();
        // 序列和
        int s = 0;
        // 遍历序列    
        for(int j = 0;j < sum;j++){
            s += j;
            if(map.containsKey(s - sum)){
                int i = map.get(s - sum);
                // 避免重复序列
                if(i != j ){
                    ArrayList<Integer> temp = new ArrayList<Integer>();
                    for(int k = i + 1;k <= j;k++){
                       temp.add(k);
                    }
                    ans.add(temp);
                }               
            }
            map.put(s,j);           
        }
        return ans;
    }

时间复杂度：O(n)