冈萨雷斯《数字图像处理》学习笔记(五)图像复原

本文深入探讨图像处理中的关键概念,包括图像复原与增强的区别,噪声模型及其滤波方法,退化函数的估计与逆滤波技术,以及图像的几何变换。详细介绍了各类噪声模型,如高斯噪声、椒盐噪声等,以及对应的滤波器选择。讨论了如何通过空间和频率域滤波消除周期噪声,估计退化函数,并运用逆滤波和维纳滤波进行图像复原。

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目录

 

一、图像复原

二、噪声模型

三、只存在噪声的图像复原

空间滤波

频率域滤波消除周期噪声

四、退化函数的估计

 退化函数

五、逆滤波(去卷积)

六、图像的几何变换


一、图像复原

图像复原的一般过程:分析退化原因——建立退化模型——反向推演——恢复图像

图像增强旨在改善图像质量,提高图像的可懂度,更偏向主观判断。即要突出所关心的信息,满足人的视觉系统,具有好的视觉效果。

图像复原:根据图像畸变或退化的原因,进行模型化处理,将质量退化的图像重建或恢复到原始图像。即恢复退化图像的本来面目,忠于原图像,因此必须根据一定的图像退化模型来进行图像复原。

图像的增强是一个主观的过程,其目的是改善图片的质量,对感兴趣的部分加以增强,对不感兴趣的部分予以抑制。而图像复原是一个客观的过程,针对质量降低或失真的图像,试图恢复其原始的内容或质量。复原技术是面向退化模型的,并且采用相反的过程进行处理,以便恢复出原图像。在进行图像复原之前要先建立起其退化模型,根据该模型进行图像复原。

课本中的图像退化过程建模为一个退化函数和一个加性噪声。

设H是一个线性时不变的过程,则我们可以得到,式子中的“*”表示卷积。其频率域的表示为:

对于只有加性噪声的情况,我们可以通过一些噪声模型(例如高斯噪声,瑞利噪声,椒盐噪声等等)以及对这些噪声参数的估计,来选择合适的空间滤波器(如均值滤波器,中值滤波器)或者频率滤波器(带阻/带通滤波器,低通/高通滤波器,陷波滤波器)来进行滤波。

二、噪声模型

a、高斯噪声的PDF:

b、瑞利噪声的PDF:

  

c、爱尔兰(伽马)噪声的PDF:

  

d、指数噪声的PDF:

  

注意这个噪声是当伽马噪声中的b=1时的特殊情况。

e、均匀噪声的PDF:

  

f、脉冲(椒盐)噪声的PDF:

如果b>a,则灰度级b在图像中将显示为一个亮点;反之,灰度级a在图像中将显示为一个暗点。若$p_{a}$$p_{b}$为零,则脉冲噪声称为单极脉冲。如果$p_{a}$$p_{b}$两者均不可能为零,尤其是他们近似相等时,则脉冲噪声值将类似于在图像上随机分布的胡椒和椒盐粉粒。

空间相关噪声: 周期噪声。周期噪声可以通过频率域滤波来显著减少。

对于只有加性噪声的情况,我们可以通过一些噪声模型(例如高斯噪声,瑞利噪声,椒盐噪声等等)以及对这些噪声参数的估计,来选择合适的空间滤波器(如均值滤波器,中值滤波器)或者频率滤波器(带阻/带通滤波器,低通/高通滤波器,陷波滤波器)来进行滤波。

噪声参数估计:确定噪声类型,并计算噪声参数。常用的方法有:模拟图像采集过程和统计图像噪声概率密度、计算方差等方法来估计噪声参数。其中,周期噪声的参数通常是通过检测图像的傅里叶谱来计算的。

三、只存在噪声的图像复原

空间滤波

当一幅图中唯一存在的退化是噪声时: 

可以采用空间滤波的方式复原图像。

1、均值滤波器

算术均值滤波器: 
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几何均值滤波器: 
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谐波均值滤波器: 
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逆谐波均值滤波器: 
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2、统计排序滤波器

中值滤波器: 
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最大值和最小值滤波器: 
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中点滤波器: 
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修正的阿尔法均值滤波器: 
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3、自适应滤波器

自适应滤波器效果最好,但结构也相对复杂。 
自适应局部降低噪声滤波器: 
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自适应中值滤波器: 
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频率域滤波消除周期噪声

使用频率域技术可以有效地分析并滤除周期噪声。 
带阻滤波器(HBR): 
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带通滤波器(HBP): 
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最佳陷波滤波器: 
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四、退化函数的估计

 退化函数

1、线性、位置不变的退化

这里写图片描述 
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2、估计退化函数

在图像复原中,我们需要对退化函数进行估计。主要有观察法,实验法,数学建模法。

观察法通过选择噪声较小的子图像(减少噪声的影响)来得到H(u,v),然后根据此信息来构建全图的H(u,v),之后利用后面的复原方法来复原。实验法是指我们可以使用或设计一个与图像退化过程相似的装置(过程),使其成像一个脉冲,可得到退化系统的冲激响应 H(u,v) = G(u,v) / A。

而建模估计则是从引起图像退化的基本原理进行推导,进而对原始图像进行模拟,在模拟过程中调整模型参数以获得尽可能精确的退化模型。课本中有两种模型,大气湍流模型和运动模糊模型。

大气湍流模型
通用形式为。其中,k是与湍流性质有关的常数,k越大,图像越模糊,与高斯低通滤波器有着相同的形式。在实现该滤波器的过程中,由于中心化,要注意u,v应该分别替换为各自与频率中心之差,假设频率中心为(M/2,N/2),则替换为u-M/2和v-N/2。与我们之前频率滤波器的实现相同。

注意:实现过程与我们之前的频率滤波器的实现一样,都需要中心化。

我在对图片施加大气湍流退化模型的时候,采用与之前相同的过程,但是得到的结果图像比课本的结果图更加地模糊。k = 0.0025(较模糊,比较容易看出区别)的情况如下:

这个问题困扰了我很久,我尝试了各种不同的方法,在不中心变换的情况下进行滤波,发现情况更加糟糕。后来在做后面运动模糊模型的时候,得到的结果也与课本的结果相差甚远。之后,在尝试了不对图像进行填充(即不对原图像填充0值至大小为[2m, 2n]),发现得到的结果与课本的一致。对得到的结果图像直接取整(若是在最开始将值归一化到[0,1],自然不需要取整这一步)

运动模糊模型

退化函数为

其中T表示曝光时间,a和b分别表示水平和垂直方向上的移动量。注意有,当π(ua+vb) = 0时,H(u,v) = T。同理,在实现该滤波器的过程中,由于中心化,要用u-M/2和v-N/2分别替换u和v。

当a = b  = 0.1,T = 1时,其傅里叶频谱如下:

imshow(log(abs(H) + 1), [ ])

五、逆滤波(去卷积)

1. 直接逆滤波
知道了图像的退化模型之后,最简单的复原方法就是采用逆滤波的方法。计算如下:

但是,当H(u,v)为0或者接近0的时候,N(u,v)/H(u,v)会变得很大,成为支配整个图像的主要部分。即使N(u,v)很小或者为0,当H(u,v)接近0的时候,在计算的时候,F(u,v)也会变得非常大,从而使复原之后的图像没有任何信息。

因此,可以对H(u,v)进行修改,①可以对G(u,v)/H(u,v)应用一个低通滤波器,虑去其中病态的高频成分(即虑去H(u,v)中接近0的部分),②或者规定一个值,当|H(u,v)| ≤ δ 时,1/H(u,v) = 0。这两种方法都是去掉或者说削弱H(u,v)接近0时的影响。低通滤波器的方法对于上面提到的运动模糊模型几乎没有用,因为运动模糊模型的傅里叶频谱并不是从中间向四周赋值逐渐减小的,但是方法②仍然有用。

我在对收到了大气湍流模型之后的图像做直接逆滤波的时候,得到的最终图片一片模糊,得不到任何信息,与课本的结果相差较大,这可能是在对计算G(u,v)/H(u,v)的时候,在H(u,v)接近0的时候所做的处理不一致所导致的。这个直接造成了在之后对G(u,v)/H(u,v)使用butterworth低通滤波器的时候,最佳效果的截止频率与课本的不一致。

2. 维纳滤波(最小均方差误差滤波)
一个维纳滤波的计算公式如下,其中K是一个特定的常数,与噪声和未退化图像之间的信噪比有关。不同情况下取值不同。在平均意义下是最优的。

3. 约束最小二乘方滤波器 
,其中r是一个参数,P(u,v)是矩阵p(x,y) = [0, -1, 0; -1, 4,-1; 0, -1, 0]的傅里叶变换。该算法相比于维纳滤波,对其应用的每幅图像都能产生最优的结果。

4. 几何均值滤波器 

几何均值滤波器是维纳滤波器的推广:

其中,α和β是正的实常数,几何均值滤波器由两个括号内的幂次方分别为α和1-阿尔法的表达式组成。

当α=1时,该滤波器退化为逆滤波器;当α变为所谓的参数维纳滤波器,参数维纳滤波器在β=1时还原为标准的维纳滤波器。如果α=1/2,则滤波器变成相同幂次的两个量的积,这是几何均值的定义,这样就给出了这种滤波的命名。当β=1时,随着α减小到1/2以下,滤波器的性能越来越接近逆滤波器。类似地,当α增大到1/2以上时,滤波器更接近维纳滤波器。当α=1/2且β=1时,该滤波器通常也被称为谱均衡滤波器。

六、图像的几何变换

平移变换

x1 = x0 + △x,

y1 = y0 + △y;

水平镜像变换

以原图像的垂直中轴线为中心,将图像分为左右两部分进行对称变换。示意图如下所示:

x1 = x0,

y1 = W-y0 ;

垂直镜像变换

以原图像的水平中轴线为中心,将图像分为上下两部分进行对称变换。示意图如下所示:

x1 = H - x0,

y1 = y0 ;

转置变换

图像的转置就是将图像像素的x坐标和y坐标互换。这样将改变图像的高度和宽度,转置后图像的高度和宽度也将互换。

x1 = y0,

y1 = x0;

旋转变换

一般情况下,旋转操作会有一个旋转中心,这个旋转中心一般为图像的中心,旋转之后图像的大小一般会发生改变。图像像素原来的坐标为(x0,y0),(顺时针)选择Θ角度后得到(x1,y1)

x1 = x0·cosΘ + y0·sinΘ,

y1 = -x0·sinΘ + y0·cosΘ;

缩放变换

注意:在固定的图像分辨率下,图像放大的越多,所需要填充的像素点也就越多,从而导致图像本身数据所占的比例变小,或许一些细节会变得更容易看到,但是图像整体会变得模糊。如果缩小图片,例如长和宽都缩小到原来的一半,那么图像会变为原来四分之一的大小,这样或许一些边缘会变得更为锐利,整体感或许会加强,但这意味着他丢失了四分之三的的数据。如果再用相反的步骤放大回原来的大小,那么就像上面说的,原图像的数据只占了整张图的四分之一,整张图就会变得模糊不堪。

 

 

本书是数字图像处理经典著作,作者在对32个国家的134个院校和研究所的教师,学生及自学者进行广泛调查的基础上编写了第三版。除保留了第二版的大部分主要内容外,还根据收集的建议从13个方面进行了修订,新增400多幅图像,200多个图表和80多道习题,同时融入了来本科学领域的重要发展,使本书具有相当的特色先进性。全书分为12章,包括绪论,数字图像基础,灰度变换空间滤波,频域滤波,图像复原重建,彩色图像处理,小波及多分辨率处理,图像压缩,形态学图像处理,图像分割,表现描述,目标识别。 目录编辑 前言15 致谢19 书籍网站20 关于作者21 第1章引言23 1.1什么是数字图像处理?23 1.2数字图像处理的起源25 1.3使用数字图像处理的字段示例29 1.3.1伽马射线成像30 1.3.2 X射线成像31 1.3.3紫外线带成像33 1.3.4可见光和红外波段成像34 1.3.5微波波段40成像 [1] 1.3.6无线电频段的成像42 1.3.7使用其他成像模式的示例42 1.4数字图像处理的基本步骤47 1.5图像处理系统的组件50 摘要53 参考文献和进一步阅读53 第2章数字图像基础知识57 2.1视觉感知的要素58 2.1.1人眼结构58 2.1.2眼睛中的图像形成60 2.1.3亮度适应和歧视61 2.2光和电磁谱65 2.3图像传感和采集68 2.3.1使用单个传感器进行图像采集70 2.3.2使用传感器条带获取图像70 2.3.3使用传感器阵列进行图像采集72 2.3.4简单的图像形成模型72 2.4图像采样和量化74 2.4.1采样和量化的基本概念74 2.4.2代表数字图像77 2.4.3空间和强度分辨率81 2.4.4图像插值87 2.5像素之间的一些基本关系90 2.5.1像素的邻居90 2.5.2邻接,连通性,区域和边界90 [1] 2.5.3距离措施93 2.6数字图像处理中使用的数学工具简介94 2.6.1数组矩阵运算94 2.6.2线性非线性操作95 2.6.3算术运算96 2.6.4设置和逻辑操作102 2.6.5空间操作107 2.6.6矢量和矩阵运算114 2.6.7图像变换115 2.6.8概率方法118 [1] 摘要120 参考文献和进一步阅读120 问题121 第3章强度变换和空间过滤126 3.1背景127 3.1.1强度变换和空间滤波的基础127 3.1.2关于本章中的示例129 3.2一些基本的强度转换函数129 3.2.1图像底片130 3。2。2日志转换131 3.2.3幂律(Gamma)变换132 3.2.4分段线性变换函数137 3.3直方图处理142 3.3.1直方图均衡144 3.3.2直方图匹配(规范)150 3.3.3局部直方图处理161 3.3.4使用直方图统计进行图像增强161 3.4空间过滤的基本原理166 3.4.1空间过滤机制167 3.4.2空间相关和卷积168 3.4.3线性滤波的矢量表示172 3.4.4生成空间滤波器掩码173 3.5平滑空间滤波器174 3.5.1平滑线性滤波器174 3.5.2订单统计(非线性)过滤器178 3.6锐化空间滤波器179 3.6.1基金会180 3.6.2使用二阶导数进行图像锐化 - 拉普拉斯算子182 3.6.3反锐化掩码和高增强滤波184 3.6.4使用一阶导数(非线性)图像锐化 - 梯度187 3.7组合空间增强方法191 [1] 3.8使用模糊技术进行强度变换和空间过滤195 3.8.1引言195 3.8.2模糊集理论的原理196 3.8.3使用模糊集200 3.8.4使用模糊集进行强度变换208 3.8.5使用模糊集进行空间过滤211 摘要214 参考文献和进一步阅读214 问题215 第4章频域滤波221 4.1背景222 4.1.1傅立叶级数和变换的简史222 4.1.2关于本章中的示例223 4.2初步概念224 [1] 4.2.1复数224 4.2.2傅立叶级数225 4.2.3冲动及其筛选性能225 4.2.4一个连续变量函数的傅立叶变换227 4.2.5卷积231 4.3采样和采样函数的傅立叶变换233 4.3.1抽样233 4.3.2采样函数的傅立叶变换234 4.3.3抽样定理235 4.3.4别名239 4.3.5采样数据的功能重建(恢复)241 4.4单变量的离散傅里叶变换(DFT)242 4.4.1从采样函数的连续变换中获取DFT 243 4.4.2采样和频率间隔之间的关系245 4.5扩展到两个变量的函数247 4.5.1二维脉冲及其筛选性质247 4.5.2二维连续傅立叶变换对248 [1] 4.5.3二维采样和二维采样定理249 4.5.4图像中的别名250 4.5.5二维离散傅里叶变换及其逆257 4.6二维离散傅立叶变换的一些性质258 4.6.1空间和频率间隔之间的关系258 4.6.2翻译和轮换258 4.6.3周期259 4.6.4对称性属性261 4.6.5傅里叶谱和相角267 4.6.6二维卷积定理271 4.6.7二维离散傅立叶变换特性总结275 4.7频域滤波的基础277 4.7.1频域的附加特性277 4.7.2频域滤波基础279 4.7.3频域滤波步骤摘要285 4.7.4空域和频域过滤之间的对应关系285 4.8使用频域滤波器进行图像平滑291 4.8.1理想的低通滤波器291 4.8.2巴特沃斯低通滤波器295 [1] 4.8.3高斯低通滤波器298 4.8.4低通滤波的其他例子299 4.9使用频域滤波器的图像锐化302 4.9.1理想的高通滤波器303 4.9.2巴特沃斯高通滤波器306 4.9.3高斯高通滤波器307 4.9.4频域308中的拉普拉斯算子 4.9.5反锐化掩模,高增强滤波和高频强调滤波310 4.9.6同态过滤311 4.10选择性过滤316 4.10.1带通和带通滤波器316 4.10.2陷波滤波器316 4.11实施320 4.11.1二维DFT 320的可分离性 4.11.2使用DFT算法计算IDFT 321 [1] 4.11.3快速傅里叶变换(FFT)321 4.11.4关于过滤器设计的一些评论325 摘要325 参考文献和进一步阅读326 问题326 第5章图像恢复和重建333 5.1图像降级/恢复过程的模型334 5.2噪声模型335 5.2.1噪声的空间和频率特性335 5.2.2一些重要的噪声概率密度函数336 5.2.3周期性噪声340 5.2.4噪声参数估算341 5.3仅存在噪声的情况下的恢复 - 空间过滤344 5.3.1平均滤波器344 5.3.2订单统计过滤器347 5.3.3自适应滤波器352 5.4通过频域滤波定期降低噪声357 5.4.1带状过滤器357 [1] 5.4.2带通滤波器358 5.4.3陷波滤波器359 5.4.4最佳陷波滤波360 5.5线性,位置不变的降级365 5.6估算退化函数368 5.6.1通过图像观察估计368 5.6.2通过实验估算369 5.6.3通过建模估算369 5.7反向过滤373 5.8最小均方误差(维纳)滤波374 5.9约束最小二乘滤波379 5.10几何平均滤波器383 5.11从投影中重建图像384 5.11.1引言384 5.11.2计算机断层扫描原理(CT)387 5.11.3投影和Radon变换390 5.11.4傅立叶切片定理396 5.11.5使用平行光束滤波反投影重建397 5.11.6使用扇束滤波反投影进行重建403 摘要409
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