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近似算法判决问题和优化问题：同一问题的两种表述方式1. 最小顶点覆盖的近似算法即一直找两个端点都没有被标记的边，直到不存在这样的边为止。上述算法显然是多项式时间算法，且该近似算法得到的顶点覆盖点数不超过最小顶点覆盖点数的两倍。核心思想：首先证明其是一个顶点覆盖，其次证明其大小的确不超过最小顶点覆盖的两倍证明：令XXX为近似算法得到的顶点覆盖，HHH为XXX覆盖的边的集合，YYY为最小顶点覆盖。HHH中的每条边最多向XXX贡献两个顶点，因此XXX大小最多是HHH大小的两倍，即∣X∣≤2∣H

本章主要证明某些问题的确是难解的1. 层次定理1. 空间层次定理空间可构造函数fff：如果存在一个图灵机M，使对M输入任何字W时，其总停机，且停机时纸带上至多有f(n)个单元非空，同时在整个计算过程中没有用到f(n)之外的其他单元。fff至少是O(logn)级别的，可以是log2(n),nlog2(n),n2log_2(n),nlog_2(n),n^2log2​(n),nlog2​(n),n2....

空间复杂性同时间复杂性，我们定义非确定图灵机的空间复杂度，为空间使用最多分支所使用的空间大小。概念定义SPACE(f(n))SPACE(f(n))SPACE(f(n))：确定性图灵机在O(f(n))O(f(n))O(f(n))空间能进行判定的语言（问题）集合NSPACE(f(n))NSPACE(f(n))NSPACE(f(n))：非确定性图灵机在O(f(n))O(f(n))O(f(n))空间能进行判定的语言（问题）集合空间复杂度分类1. SPACE(n)SPACE(n)SPACE(n)：确定性图

时间复杂性问题：一个单带图灵机M1M_1M1​多少时间能够判决一个输入是否满足语言A={0k1k∣k≥0}A=\{0^k1^k|k\geq0\}A={0k1k∣k≥0}？一种语言：可以看作一类判决问题（其他问题可以转化为判决问题）Solution 1:从左到右扫描，如果0出现在1的右边，则拒绝该输入为语言AAA循环步骤1，直至扫描完毕，仍无法判决。继续扫描，每遇到一个0就相应删除一个1如果最终0和1都被删除，则接受该输入为语言AAA，否则拒绝该输入为语言AAA上述方案的时间复杂度：我们

引言：可以从自动机、可计算性和复杂性三个方面来讨论计算机的基本功能和限制。自动机理论：研究计算模型的定义和性质可计算理论：根据问题是否可以解决进行分类复杂性理论：根据问题的难易程度进行分类可判定性问题（决策问题、Entscheidungsproblem）：确定数学陈述是true还是false。邱奇-图灵定理：在算法上不可能确定算术语句是对还是错。乔姆斯基范式：除可选规则S→ϵS\rightarrow \epsilonS→ϵ之外，所有规则都是扩张的，至少比推导之前的字符串多出一个元素。长度为

奖项及对应人物屠呦呦：诺贝尔生理学或医学奖莫言：诺贝尔文学奖德布罗意：诺贝尔物理学奖丘成桐（1982）、陶哲轩（2006）：菲尔兹奖（40岁以下）陈省身（1983）、丘成桐（2010）：沃尔夫奖（没有年龄限制）张益唐：孪生素数猜想张首晟：华裔美籍物理学家Church-Turing Thesis（邱奇图灵论题）任何算法都可以由一台图灵机来执行，即以任何编程语言编写的算法都可以被翻译成一台图灵机，反之亦然，因此任何一种编程语言都足够用来有效的表达任何算法。简而言之就是“任何在算法上可计算的