494. 目标和

原题链接：494. 目标和

题目：给定一个非负整数数组，a1, a2, ..., an, 和一个目标数，S。现在你有两个符号 + 和 -。对于数组中的任意一个整数，你都可以从 + 或 -中选择一个符号添加在前面。

返回可以使最终数组和为目标数 S 的所有添加符号的方法数。

思路：动态规划。

首先，如果我们把 nums 划分成两个子集 A 和 B，分别代表分配 + 的数和分配 - 的数，那么他们和 target 存在如下关系：

sum(A) - sum(B) = target
sum(A) = target + sum(B)
sum(A) + sum(A) = target + sum(B) + sum(A)
2 * sum(A) = target + sum(nums)

综上，可以推出 sum(A) = (target + sum(nums)) / 2，也就是把原问题转化成：nums 中存在几个子集 A，使得 A 中元素的和为 (target + sum(nums)) / 2？这是一个典型的01背包问题。

下面开始动态规划流程：

第一步要明确两点，「状态」和「选择」

状态就是「背包的容量」和「可选择的物体」，选择就是「装进背包」和「不装进背包」。对应于本题，状态就是「所选子集所有元素的和」和「子集的所有元素」，选择就是「元素放进子集里」和「元素不放进子集里」。

第二部就是明确dp数组的定义

按照背包问题的套路，可以给出如下定义：

dp[i][j] = x 表示，若只在前 i 个物品中选择，若当前背包的容量为 j，则最多有 x 种方法可以恰好装满背包。

翻译成我们探讨的子集问题就是，若只在 nums 的前 i 个元素中选择，若目标和为 j，则最多有 x 种方法划分子集。

根据这个定义，显然 dp[0][..] = 0，因为没有物品的话，根本没办法装背包；dp[..][0] = 1，因为如果背包的最大载重为 0，「什么都不装」就是唯一的一种装法。

我们所求的答案就是 dp[N][sum]，即使用所有 N 个物品，有几种方法可以装满容量为 sum 的背包。

第三步，根据「选择」，思考状态转移的逻辑

回想刚才的 dp 数组含义，可以根据「选择」对 dp[i][j] 得到以下状态转移：

如果不把 nums[i] 算入子集，或者说你不把这第 i 个物品装入背包，那么恰好装满背包的方法数就取决于上一个状态 dp[i-1][j]，继承之前的结果。

如果把 nums[i] 算入子集，或者说你把这第 i 个物品装入了背包，那么只要看前 i - 1 个物品有几种方法可以装满 j - nums[i-1] 的重量就行了，所以取决于状态 dp[i-1][j-nums[i-1]]。

PS：注意我们说的 i 是从 1 开始算的，而数组 nums 的索引时从 0 开始算的，所以 nums[i-1] 代表的是第 i 个物品的重量，j - nums[i-1] 就是背包装入物品 i 之后还剩下的容量。

由于 dp[i][j] 为装满背包的总方法数，所以应该以上两种选择的结果求和，得到状态转移方程：

dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-nums[i-1]];

C++实现如下：

class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int S) {
        int sum=0;
        for(int n:nums) sum+=n;
        if(sum<S||(sum+S)%2==1)//和小于S或者和+S为奇数的情况下不符合条件
            return 0;
        return subsums(nums,(sum+S)/2);
    }

    int subsums(vector<int>&nums,int sum){
        int n=nums.size();
        vector<vector<int>> dp(n+1,vector<int> (sum+1,0));

        for(int i=0;i<n;i++){
            dp[i][0]=1;//背包容量为0的情况下，只有什么都不装这一种方法
        }

        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=0;j<=sum;j++){
                if(j>=nums[i-1]){
                    dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-nums[i-1]];
                }
                else{
                    dp[i][j]=dp[i-1][j];
                }
            }
        }
        return dp[n][sum];
    }
};