裴蜀定理____Min

斐蜀定理:


   若a,b的最大公约数为gcd,则有a*x+b*y , x , y 这三个数都是gcd的因子,存在x,y使得a*x+b*y=gcd成立

特别地,若a,b两数互质,则一定有a*x+b*y=1,反过来,结论也是成立的


n个正数之间的斐蜀定理:

   既可以推广到n个数字,若a1,a2,...,an的最大公约数为gcd,则存在x1,x2,....,xn使得a1*X1+a2*X2+....+an*Xn=gcd成立

  特别地,若a1,a2,...,an互质(注意是整体互质,而不是两两互质),则一定有a1*X1+a2*X2+...+an*Xn=1成立


对任何整数a、b和它们的最大公约数gcd,关于未知数x和y的线性丢番图方程(称为裴蜀等式):ax + by = m有解当切仅当m是gcd的倍数。

裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解,每组解x、y都称为裴蜀数,可用扩展欧几里得算法求得一组特解。



【bzoj1441】Min

Description

给出n个数(A1…An)现求一组整数序列(X1…Xn)使得S=A1*X1+…An*Xn>0,且S的值最小

Input

第一行给出数字N,代表有N个数 下面一行给出N个数

Output

S的最小值

Sample Input

2
4059 -1782

Sample Output

99


分析:n个整数的斐蜀定理

代码如下:

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<iostream>
using namespace std;
int gcd(int x,int y){return y==0?x:gcd(y,x%y);}
int n,ans;
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	   {int x;scanf("%d",&x);ans=gcd(ans,x);}
	printf("%d",abs(ans));
	return 0;
}






<think>好的,我现在需要处理用户关于裴蜀定理的查询。用户想了解其学原理及应用。首先,我得确认自己对这个定理的理解是否正确。裴蜀定理,又称贝祖定理,主要涉及两个整的最大公约其线性组合的关系。记得定理的内容是:对于全为零的整a和b,存在整x和y,使得ax + by = gcd(a, b)。同时,这个gcd(a, b)是能够表示为ax + by的最小正整。 接下来,用户可能想知道应用,比如在论、密码学或者算法中的应用。比如,扩展欧几里得算法就是基于裴蜀定理的,用来求解x和y的值。此外,在解决线性同余方程、模逆元计算等方面也有应用,这些都是密码学中的常见问题。 需要检查是否有遗漏的关键点。比如,定理的推广形式,多个整的情况,或者它在其他学领域中的应用,如代几何中的贝祖定理(虽然可能同,但用户可能混淆)。需要明确区分。 然后,考虑是否需要搜索补充信息,确保准确性。比如,查找最新的应用实例,或者是否有常见的误解需要澄清。例如,定理中的x和y并唯一,且如何在实际中求解这些系。 关于学原理部分,需要详细说明定理的证明思路,可能涉及欧几里得算法的步骤。但用户的问题可能需要详细证明,而是更关注结论和应用。过,适当的原理解释有助于理解应用的基础。 应用部分,可以举具体的例子,如解定方程,或者RSA算法中求模逆元的过程。此外,在计算机科学中,扩展欧几里得算法的实现也是基于此定理,可能需要给出代码示例,但用户的问题中没有明确要求代码,过如果有的话会更实用。 需要确保回答结构符合用户的要求:多个方法或步骤,换行分隔,避免使用步骤词汇。可能需要分点阐述学原理、应用场景、实例等。 最后,生成相关问题时要基于原问题,比如定理的证明方法、扩展欧几里得算法的具体步骤、在密码学中的具体应用案例等。确保问题相关且有深度,帮助用户进一步探索。 现在需要整合这些思考,按照用户的格式要求组织答案,确保引用来源正确,堆砌在末尾,每个部分清晰。同时,检查是否满足所有格式要求,特别是学公式和代码的格式,以及相关问题的正确位置和格式。</think>裴蜀定理(Bézout's Identity)是论中的基础定理,描述了整线性组合最大公约的关系。设$a,b$为全为零的整,其最大公约为$\gcd(a,b)$,则存在整$x,y$使得方程$ax + by = \gcd(a,b)$成立。该定理可推广到多个整情形:对于$n$个整$a_1,a_2,...,a_n$,其线性组合的最小正整等于它们的最大公约。 **学原理** 1. **存在性证明**:通过欧几里得算法构造性证明。递归计算$\gcd(a,b)$时,反向代入余表达式可得到$x$和$y$的具体表达式。例如计算$\gcd(252, 105)$: $$252 = 2 \times 105 + 42$$ $$105 = 2 \times 42 + 21$$ $$42 = 2 \times 21 + 0$$ 反向推导得$21 = 105 - 2 \times 42 = 105 - 2 \times (252 - 2 \times 105) = 5 \times 105 - 2 \times 252$,即$x=-2,y=5$。 2. **唯一性条件**:解的全体可表示为$x = x_0 + \frac{b}{d}k$,$y = y_0 - \frac{a}{d}k$($k \in \mathbb{Z}$,$d=\gcd(a,b)$)。当要求$x,y$满足特定约束时(如最小非负解),解唯一。 **核心应用** - **解线性定方程**:方程$ax + by = c$有整解当且仅当$\gcd(a,b) \mid c$。例如方程$12x + 15y = 3$有解,因$\gcd(12,15)=3$,且$3 \mid 3$。 - **模逆元计算**:若$a$$m$互质,则存在$x$使得$ax \equiv 1 \pmod{m}$,此$x$即为$a$模$m$的逆元。通过扩展欧几里得算法实现: ```python def extended_gcd(a, b): if b == 0: return a, 1, 0 d, x1, y1 = extended_gcd(b, a % b) x = y1 y = x1 - (a // b) * y1 return d, x, y ``` - **密码学基础**:RSA算法中密钥生成依赖模逆元计算,而椭圆曲线密码体制利用推广的裴蜀定理构造双线性对。 **几何解释**:在平面坐标系中,直线$ax + by = c$通过整点的充要条件是$\gcd(a,b) \mid c$。若$\gcd(a,b)=1$,则该直线在整格点上无限密集。
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