noip 2011 提高组 计算系数

这篇博客主要介绍了NOIP 2011提高组的一道关于计算多项式系数的题目,包括题目的详细描述、输入输出格式、样例以及解题思路和代码实现。

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题目描述:

给定一个多项式(ax + by)^k,请求出多项式展开后(x^n)*(y^m)项的系数。(保证n+m==k)

输入:

共一行,包含 5 个整数,分别为a,b,k,n,m,每两个整数之间用一个空格隔开。

输出:

输出共 1 行,包含一个整数,表示所求的系数,这个系数可能很大,输出对10007 取模后的结果。

输入输出样例:

输入:1 1 3 1 2

输出:3

题解:

我们来看几组简单数据:
(a*x+b*y)^2=(a*x)^2+2*a*b*x*y+(b*y)^2

(a*x+b*y)^3=(a*x)^3+3*(a^2)*b*(x^2)*y+3*a*(b^2)*x*(y^2)+(b*y)^3

(a*x+b*y)^4=(a*x)^4+4*(a^3)*b*(x^3)*y+6*(a^2)*(b^2)*(x^2)*(y^2)+4*a*(b^3)*x*(y^3)+(b*y)^3

 易得(x^n)*(y^m)的系数(答案)为k*(a^n)*(b^m),而k值有以下规律:

 1 2 1
 1 3 3 1
 1 4 6 4 1
 ......
 由此可见,这是一个杨辉三角(dalao都用组合数),
 因为(a^n)*(b^m)是可以算的(直接循环,边乘边取余或者快速幂计算)
 因此,在构造的杨辉三角中找到对应系数 k,再计算出(a^n)*(b^m),即可得到答案。

代码:

#include<stdio.h>
long long h[1010][1010],k,a,b,n,m;
int Tpow(int x,int p){  //快速幂计算(a^n)*(b^m)
    long long tmp=x,ans=1;
    while(p>0){
        if(p&1)ans=(ans*tmp)%10007;
        tmp=(tmp*tmp)%10007;
        p>>=1;
    }
    return ans;
}
int main(){
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&k,&n,&m);
    h[1][1]=1;
    for(int i=2;i<=k+1;i++)  //暴力构造杨辉三角,别学我
        for(int j=1;j<=i;j++)
            h[i][j]=(h[i-1][j-1+h[i-1][j])%10007; 
    long long s=(h[k+1][n+1]%10007*(Tpow(a,n)%10007)*(Tpow(b,m)%10007))%10007;
    printf("%lld",s);
} 
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