一起聊聊什么是P问题、NP问题、NPC问题

概念

P问题：如果一个问题可以找到一个能在多项式的时间里解决它的算法，那么这个问题就属于P问题。通常NOI和NOIP不属于P类问题，我们常见到的一些信息奥赛的题目都是P问题。
NP问题：可以在多项式的时间里猜出一个解的问题。NP问题不是非P类问题。NP问题是指可以在多项式的时间里验证一个解的问题。之所以要定义NP问题，是因为通常只有NP问题才可能找到多项式的算法。
所有的P类问题都是NP问题。也就是说，能多项式地解决一个问题，必然能多项式地验证一个问题的解。
注：信息学中的号称最困难的问题——“NP问题”，实际上是在探讨NP问题与P类问题的关系。

NP

“NP”的全称为“Nondeterministic Polynomial”，而不是“Non-Polynomial”。NP 类问题指的是，能在多项式时间内检验一个解是否正确的问题。比如我的机器上存有一个密码文件，于是就能在多项式时间内验证另一个字符串文件是否等于这个密码，所以“破译密码”是一个 NP 类问题。NP 类问题也等价为能在多项式时间内猜出一个解的问题。这里的“猜”指的是如果有解，那每次都能在很多种可能的选择中运气极佳地选择正确的一步。
不妨举个例子：给出 n 个城市和两两之间的距离，求找到一个行走方案，使得到达每个城市一次的总路程最短。我们可以这样来“猜测”它的解：先求一个总路程不超过 100 的方案，假设我们可以依靠极好的运气“猜出”一个行走路线，使得总长度确实不超过 100，那么我们只需要每次猜一条路一共猜 n 次。接下来我们再找总长度不超过 50 的方案，找不到就将阈值提高到75…… 假设最后找到了总长度为 90