【2017年浙江工业大学大学生程序设计迎新赛决赛】G 取数游戏二【DP or 记忆化DFS】

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64bit IO Format: %lld
题目描述
给定两个长度为n的整数列A和B，每次你可以从A数列的左端或右端取走一个数。假设第i次取走的数为ax，则第i次取走的数的价值vi=bi⋅ax，现在希望你求出∑vi的最大值。
输入描述:
第一行一个数T，表示有T组数据。
对于每组数据，第一行一个整数n，
接下来两行分别给出A数列与B数列。
输出描述:
每一组数据输出一行，最大的∑vi。
示例1
输入

2
2
1 1000
2 1
5
1 3 5 2 4
1 2 3 4 5
输出

2001
52
说明

对于第二个样例，
第一次从左边取走a1，v1=a1⋅b1=1,
第二次从左边取走a2，v2=a2⋅b2=6,
第三次从右边取走a5，v3=a5⋅b3=12,
第四次从右边取走a4，v4=a4⋅b4=8,
第五次取走剩下的a3，v5=a3⋅b5=25。
总价值∑vi=1+6+12+8+25=52
备注:
T≤10
1≤n≤103
1≤ai,bi≤103

分析： 取数的过程可以为：
0> 左边取零个，其余都取右边的
1 >左边取一个，其余都取右边的
2> 左边取两个，其余都取右边的
3 >左边取三个，其余都取右边的
…
..
根据这个规律，我们可以用DP来解决，用dp [ i ] [ j ] 来表明 左边取i个，右边取j个能够获得的最大值。
怎么找状态转移方程呢？ 我们可以思考一下，对于dp [ i ] [ j ] 这个状态，是能够由那些状态得到的。就可以得到：
状态转移方程 ：
dp[ i ] [ j ] = max(dp[ i - 1][ j ] + a[ i ] * b[ j+i ] , dp[ i ][ j -1 ] + a[ n - j +1 ] *b [ j + i ] ) .
根据这个状态转移方程我们可以得到 递推遍历的方向，首先看外层循环，对于dp[ i ] 层来说 是需要dp[ i- 1 ]层来递推，所以我们可知外层循环正向遍历i。同理内层循环 也是要正向遍历j。
代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long

const int MAXN = 1e3+11;
const int MAXM = 1e6 ;
const LL mod = 1e9+7 ;

int a[MAXN],b[MAXN];
int dp[MAXN][MAXN];
int main(){
    int T ;cin>>T;
    while(T--){
            int n;cin>>n;
        for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
        for(int j=1;j<=n;j++) cin>>b[j];
        for(int i=1;i<=n;i++) { // 一直紧着一边拿可得到的最大值
            dp[i][0]=dp[i-1][0]+a[i]*b[i];
            dp[0][i]=dp[0][i-1]+a[n-i+1]*b[i];
        }
        int ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){// 外层正向遍历
            for(int j=1;j<=n;j++) { // 内层也要正向遍历
                dp[i][j]=max(dp[i-1][j]+a[i]*b[i+j],dp[i][j-1]+a[n-j+1]*b[j+i]) ;
                if(i+j==n) ans=max(ans,dp[i][j]);
            }
        }
        cout<<ans<<endl;
     }
return 0;
}

记忆化DFS

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define CLOSE() ios_base::sync_with_stdio(false)

const int MAXN = 1e3+11;
const int MAXM = 1e6 ;
const LL mod = 1e9+7 ;

int a[MAXN],b[MAXN];
int dp[MAXN][MAXN];

int  dfs(int l,int r,int step){
    if(l>r) return 0;
    if(dp[l][r]) return dp[l][r];
    int temp=0;
    temp=max(temp,dfs(l+1,r,step+1)+b[step]*a[l]);
    temp=max(temp,dfs(l,r-1,step+1)+b[step]*a[r]);
    return dp[l][r]=temp;
}

int main(){
    CLOSE();
    int T; cin>>T;
    while(T--){
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        int n;cin>>n;
        for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
        for(int i=1;i<=n;i++) cin>>b[i];
        dfs(1,n,1);
        cout<<dp[1][n]<<endl;
    }
return 0;
}