最长上升子序列

最长上升子序列

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POJ_百练_2757:最长上升子序列

描述
一个数的序列$bi$，当$b_1 < b_2 < ... < b_S$的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列$(a_1, a_2, ..., a_N)$，我们可以得到一些上升的子序列$(a_{i1}, a_{i2}, ..., a_{iK})$，这里$1 <= i1 < i2 < ... < iK <= N$。比如，对于序列$(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，$有它的一些上升子序列，如$(1, 7), (3, 4, 8)$等等。这些子序列中最长的长度是$4$，比如子序列$(1, 3, 5, 8)$.

你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。

输入

输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000。

输出

最长上升子序列的长度。

样例输入

7
1 7 3 5 9 4 8

样例输出
4

来源

翻译自 Northeastern Europe 2002, Far-Eastern Subregion 的比赛试题

问题建模:

输入:
$N, N \in [1, 1000]$代表序列的长度
$a(i), i \in [1, N]$代表序列中第$i$个元素的值

输出:
$ans$代表序列中最长子序列的长度.

找子问题:
“求序列的前$n$个元素的最长上升子序列的长度”是和原问题相同的一个子问题,但是不具有”无后效性”.
假设$F(n) = x$, 但可能前$n$个元素中有多个序列满足$F(n) = x$,比如前$n$个元素中有序列$B_1,B_2,B_3$,的长度均为$x$,即都满足$F(n) = x$,那么可能序列$B_1$中的最后一个元素比$a_{n+1}$大,那么此时$F_(n+1) = x+1$,也有可能$B_2$中的最后一个元素不比$a_(n+1)$小,那么$F_(n+1) = x$,也就是说计算$F_(n+1)$的时候我需要知道计算$F_(n)$时候的得到的所有序列.这显然是不满足无后效性的设计.

满足无后效性的设计要求: 计算第$n+1$个状态的时候,也就是计算$F(n+1)$的时候,我只需要知道$F(n)$,但是不需要知道计算第$n$个状态的时候的计算过程.计算第$n$个状态的计算过程和计算第$n+1$个状态无关.

好的设计方法
考虑”以第$k$个元素作为终点计算得到最长上升子序列的长度”.这个子问题的形式和原问题并不完全一样.但是它的状态的计算是满足无后效性原则的.求出以第$k, k \in [1, N]$个元素作为终点的最长上升子序列长度,在这$n$个状态中找到最大的值便是原问题的解.

递推方程:
$maxLen(k):$以$k$作为终点的最长上升子序列的长度.
$maxLen(1) = 1$
$maxLen(k) = 0, k \in [2,N]$
计算,当$k \in [2, N]$时有:

$$maxLen(k) = \begin{cases} \max \lbrace maxLen(k), maxLen(i) + 1\rbrace, & \text{if $a(k) > a(i)$} \\ \max \lbrace maxLen(k), 1 \rbrace, & \text{if $a[k] \leq a[i]$} \end{cases} i \in [1, k-1]$$
$ans = \max_{1 \leq k \leq N} \lbrace maxLen(k) \rbrace$

实例计算:

$N = 7$
$a_1 = 1, a_2 = 7, a_3 = 3, a_4 = 5, a_5 = 9, a_6 = 4, a_7 = 8$

代入递推公式计算$maxLen(k), k \in [1, N]$
$maxLen(1) = 1$

计算以第二个元素作为终点的最长序列长度:

$maxLen(2) = 0$
$maxLen(2)_1 = \max \lbrace maxLen(2),maxLen(1)+1\rbrace = 2, a(2) > a(1)成立$
$maxLen(2) = 2$

计算以第三个元素作为终点的最长序列长度:

$maxLen(3) = 0$
$maxLen(3)_1 = \max \lbrace maxLen(3),maxLen(1)+1\rbrace = 2, a(3) > a(1)成立$
$maxLen(3) = 2$
$maxLen(3)_2 = \max \lbrace maxLen(3),1\rbrace = 2, a(3) \leq a(2)成立$
$maxLen(3) = 2$

计算以第四个元素作为终点的最长序列长度:

$maxLen(4) = 0$
$maxLen(4)_1 = \max \lbrace maxLen(4),maxLen(1)+1\rbrace = 2, a(4) > a(1)成立$
$maxLen(4) = 2$
$maxLen(4)_2 = \max \lbrace maxLen(4),1\rbrace = 2, a(4) \leq a(2)成立$
$maxLen(4) = 2$
$maxLen(4)_3 = \max \lbrace maxLen(4), maxLen(3)+1\rbrace = 3, a(4) > a(3)成立$
$maxLen(4) = 3$

计算以第五个元素作为终点的最长序列长度:

$maxLen(5) = 0$
$maxLen(5)_1 = \max \lbrace maxLen(5),maxLen(1)+1\rbrace = 2, a(5) > a(1)成立$
$maxLen(5) = 2$
$maxLen(5)_2 = \max \lbrace maxLen(5),maxLen(2)+1\rbrace = 3, a(5) > a(2)成立$
$maxLen(5) = 3$
$maxLen(5)_3 = \max \lbrace maxLen(5),maxLen(3)+1\rbrace = 3, a(5) > a(3)成立$
$maxLen(5) = 3$
$maxLen(5)_4 = \max \lbrace maxLen(5),maxLen(4)+1\rbrace = 2, a(5) > a(4)成立$
$maxLen(5) = 4$

计算以第六个元素作为终点的最长序列长度:

$maxLen(6) = 0$
$maxLen(6)_1 = \max \lbrace maxLen(6),maxLen(1)+1\rbrace = 2, a(6) > a(1)成立$
$maxLen(6) = 2$
$maxLen(6)_2 = \max \lbrace maxLen(6),1\rbrace = 2, a(6) \leq a(2)成立$
$maxLen(6) = 2$
$maxLen(6)_3 = \max \lbrace maxLen(6),maxLen(3)+1\rbrace = 3, a(6) > a(3)成立$
$maxLen(6) = 3$
$maxLen(6)_4 = \max \lbrace maxLen(6),1\rbrace = 3, a(6) \leq a(4)成立$
$maxLen(6) = 3$
$maxLen(6)_5 = \max \lbrace maxLen(6),1\rbrace = 3, a(6) \leq a(5)成立$
$maxLen(6) = 3$

计算以第七个元素作为终点的最长序列长度:

$maxLen(7) = 0$
$maxLen(7)_1 = \max \lbrace maxLen(7),maxLen(1)+1\rbrace = 2, a(7) > a(1)成立$
$maxLen(7) = 2$
$maxLen(7)_2 = \max \lbrace maxLen(7),maxLen(2)+1\rbrace = 3, a(7) > a(2)成立$
$maxLen(7) = 3$
$maxLen(7)_3 = \max \lbrace maxLen(7),maxLen(3)+1\rbrace = 3, a(7) > a(3)成立$
$maxLen(7) = 3$
$maxLen(7)_4 = \max \lbrace maxLen(7),maxLen(4)+1\rbrace = 4, a(7) > a(4)成立$
$maxLen(7) = 4$
$maxLen(7)_5 = \max \lbrace maxLen(7),1\rbrace = 4, a(7) \leq a(5)成立$
$maxLen(7) = 4$
$maxLen(7)_6 = \max \lbrace maxLen(7),maxLen(6)+1\rbrace = 4, a(7) > a(6)成立$
$maxLen(7) = 4$

$maxLen(1) = 1,maxLen(2) = 2,maxLen(3) = 2,$
$maxLen(4) = 3,maxLen(5) = 4,maxLen(6) = 3,maxLen(7) = 4$
$ans = 4$

算法时间复杂度: $O(N^2)$

轻松ACCCEPT:

$$\begin{array}{|rrrrrrrr|} \hline & \color{red}{CODE:}& \hline \end{array}$$

// http://bailian.openjudge.cn/practice/2757
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define MAX_N 1005
int N;
int a[MAX_N], maxLen[MAX_N];

void solve(){
    int i,k;
    for(i = 1; i <= N; i++) maxLen[i] = 1; // 一开始都是1
    for(k = 2; k <= N; k++){ // 以第k个元素作为终点
        for(i = 1; i <= k-1; i++){ // 前面
            if(a[k] > a[i]) { // 递推公式
                maxLen[k] = max(maxLen[k], maxLen[i]+1);
            }
        }
    }
    printf("%d\n", *max_element(maxLen+1, maxLen+N+1));
}

int main(){
    //freopen("in.txt", "r", stdin);
    int i;
    while(~scanf("%d", &N) && N){
        for(i = 1; i <= N; i++) scanf("%d", &a[i]); // 输入数据
        solve();
    }
    return 0;
}