[bzoj4034][HAOI2015]树上操作

最新推荐文章于 2019-07-24 14:55:12 发布

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#bzoj #bzoj4034 #树链剖分 #树上操作 #oj

图论——树——树链剖分专栏收录该内容

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本文详细介绍了树链剖分的概念及其在解决特定树形结构问题中的应用，并结合线段树进行区间更新与查询操作，通过具体题目解析算法实现细节。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

树上操作

Description:

有一棵点数为 N 的树，以点 1 为根，且树点有边权。然后有 M 个
操作，分为三种：
操作 1 ：把某个节点 x 的点权增加 a 。
操作 2 ：把某个节点 x 为根的子树中所有点的点权都增加 a 。
操作 3 ：询问某个节点 x 到根的路径中所有点的点权和。

Input:

第一行包含两个整数 N, M 。表示点数和操作数。接下来一行 N 个整数，表示树中节点的初始权值。接下来 N-1
行每行三个正整数 fr, to ，表示该树中存在一条边 (fr, to) 。再接下来 M 行，每行分别表示一次操作。其中
第一个数表示该操作的种类（ 1-3 ），之后接这个操作的参数（ x 或者 x a ）。

Output:

对于每个询问操作，输出该询问的答案。答案之间用换行隔开。
Sample Input
5 5
1 2 3 4 5
1 2
1 4
2 3
2 5
3 3
1 2 1
3 5
2 1 2
3 3
Sample Output
6
9
13

HINT:

对于 100% 的数据， N,M<=100000 ，且所有输入数据的绝对值都不会超过 10^6

题解：

此题为一道很裸的树链剖分的题，下面来介绍一下树链剖分。

树链剖分：

树链剖分有几个基本概念：

  1.重点：即相比于兄弟节点，子树节点最多的点
  2.重链:重点连成的链
  树链剖分就是剖分出重链,然后把重链连在一起, 再用数据结构来维护重链.

这里写图片描述

剖分重链有很多办法,这里我介绍两次DFS的方法.

由于涉及到的数组多,我先解释一下它们各自的含义:

top[i] i节点所在重链的起点

siz[i] i节点的大小（子节点个数）

fat[i] i节点的父亲节点

son[i] i节点的中儿子

in[i] i节点在dfs中第一次访问的次序

out[i] i节点在dfs中回溯的次序

void dfs_1( int x ){
    siz[x] = 1;
    for ( int i = head[x]; i; i = next[i])
       if ( to[i] != fat[x] ){
           int v = to[i];
           dep[v] = dep[u] + 1;
           fat[v] = x;
           dfs_1( v );
           siz[x] += siz[v];
       }
}

第一遍DFS求出fat[], siz[], dep[]的值，很好理解，这里不过多交代。

void dfs_2( int x, int tp ){
    top[x] = tq;
    in[x] = ++id;
    int k = 0;
    for ( int i = head[x]; i; i = next[i])
        if ( to[i] != fa[x] && siz[ to[i] ] > siz[k] ) k = to[i];
    if ( k ){
        dfs_2( k, tq ); 
    }
    for ( int i = head[x]; i; i = next[i])
      if ( to[i] != fat[x] && to[i] != k ){
            int v = to[i];
            dfs_2( v, v );
      }
      out[x] = id;
}

第二次DFS根据前面算出的siz[]来找中儿子，即代码中的k，在用时间戳id求出in[]和out[].

这道题用DFS剖出重链以后，再用线段树维护in[],线段树要提供区间求和、区间加减的功能。

/**************************************************************
    Problem: 4034
    User: Venishel
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:2760 ms
    Memory:16456 kb
****************************************************************/

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 7;
#define LL long long
struct Edge{
    int nxt, to;
}e[N<<1];
int head[N], tot=0;
void addeage(int u, int v){
    e[++tot].nxt=head[u], e[tot].to=v;
    head[u]=tot;
}
int sz[N], mx[N], pos[N], fat[N], v[N], bl[N];
int id=0, n, m;
void dfs1(int u, int fa){
    sz[u]=1;
    for ( int i=head[u]; i; i=e[i].nxt ){
        int v=e[i].to;
        if( v==fa ) continue;
        fat[v]=u;
        dfs1(v, u);
        sz[u]+=sz[v];
    }
}
void dfs2(int u, int fa, int fq){
    bl[u]=fq;
//  printf("%d %d\n", u, bl[u] );
    pos[u]=mx[u]=++id;
    int k=0;
    for ( int i=head[u]; i; i=e[i].nxt ) if( sz[k]<sz[e[i].to] && e[i].to!=fat[u] ) k=e[i].to;
    if( k ){
        dfs2(k, u, fq);
        mx[u]=max(mx[u], mx[k]); 
    }
    for ( int i=head[u]; i; i=e[i].nxt ){
        int v=e[i].to;
        if( v==fa || v==k ) continue;
        dfs2(v, u, v);
        mx[u]=max(mx[u], mx[v]); 
    }
}
struct Node{
    int flg;
    LL sum, add;
}tr[N<<2];
#define ls nd<<1
#define rs nd<<1|1
void pushdown(int nd, int l, int r){
    if( tr[nd].flg ){
        tr[nd].flg=0;
        tr[ls].flg=tr[rs].flg=1;
        tr[ls].add+=(LL)tr[nd].add, tr[rs].add+=(LL)tr[nd].add;
        int mid=(l+r)>>1;
        tr[ls].sum+=(LL)(mid-l+1)*tr[nd].add;
        tr[rs].sum+=(LL)(r-mid)*tr[nd].add;
        tr[nd].add=0;
        return ;
    }
}
void pushup(int nd){
    tr[nd].sum=tr[ls].sum+tr[rs].sum;
}
void modify(int nd, int l, int r, int L, int R, int val){
    if( L<=l && r<=R ){
        tr[nd].flg=1;
        tr[nd].add+=(LL)val;
        tr[nd].sum+=(LL)(r-l+1)*val;
        return;
    }
    pushdown(nd,l,r);
    int mid=(l+r)>>1;
    if( mid>=L ) modify(ls,l,mid,L,R,val);
    if( mid<R ) modify(rs,mid+1,r,L,R,val);
    pushup(nd);
}
LL query(int nd, int l, int r, int L, int R){
    if( L<=l && r<= R ){
        return tr[nd].sum;
    }
    pushdown(nd,l,r);
    int mid=(l+r)>>1;
    LL ret=0;
    if ( mid>=L ) ret+=query(ls,l,mid,L,R);
    if ( mid<R ) ret+=query(rs,mid+1,r,L,R);
    return ret; 
}
LL query(int nd){
    LL ret=0;
    while( bl[nd]!=1 ){
        ret+=query(1,1,n,pos[bl[nd]],pos[nd]);
        nd=fat[bl[nd]];
    }
    ret+=query(1,1,n,1,pos[nd]);
    return ret;
}
/*
inline int read(){
    int f=1, x=0; char ch=getchar();
    while( !isdigit(ch) ) { if(ch=='-')f=-1; ch=getchar(); }
    while( isdigit(ch) ) { x=x*10+ch-'0'; ch=getchar(); }
    return x*f; 
}*/
int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int main(){
    n=read(), m=read(); 
    for ( int i=1; i<=n; i++ ) v[i]=read();
    for ( int i=1; i<n; i++ ){
        int x, y;
        x=read(), y=read();
        addeage(x,y), addeage(y,x);
    } 
    dfs1(1,0);
    dfs2(1,0,1);
//  for ( int i=1; i<=n; i++ ) printf("%d ", pos[i] );
//  cout<<"\n"; 
//  for ( int i=1; i<=n; i++ ) printf("%d ", mx[i] );
    //---------------------------------------------------------------------------
    for ( int i=1; i<=n; i++ ) modify(1,1,n,pos[i],pos[i],v[i]);
    while( m-- ){
        int opt, x, y;
        opt=read();
        if( opt==3 ) x=read(), printf("%lld\n", query(x) );
        else if( opt==1 ) x=read(), y=read(), modify(1,1,n,pos[x],pos[x],y);
        else x=read(), y=read(), modify(1,1,n,pos[x],mx[x],y); 
    }
}