泛函分析基础-如何证明l^∞是完备的度量空间

最新推荐文章于 2024-03-21 14:11:26 发布

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分类专栏：泛函分析文章标签：拓扑学

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本文详细证明了l^∞是完备度量空间，通过展示其中的柯西序列在实数集上收敛，并利用R的完备性，最终得出l^∞也是完备的结论。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

证明：设{ $x_{m}$ }是 $l^{\infty }$ 中的柯西点列，其中 $x_{m}$ ={ $\xi _{1}^{(m)},\xi _{2}^{(m)},...$ }

由柯西列的定义：对 $\forall\varepsilon >0$ ， $\exists$ 正整数N，当n，m>N时，

$d(x_{m},x_{n}) = sup_{j}|\xi _{j}^{(m)} - \xi _{j}^{(n)}| < \varepsilon---------- (1)$

因此，对每一个

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