exgcd

exgcd主要用来求逆元

1.辗转相除法

给定两个整数a,b求a,b的gcd以及同余意义下的逆元
首先有d=gcd(a,b)=gcd(b,a-b)
因为有
$$\begin{gathered} d|a,d|b \\ a=dq,b=d{q}_2,且q,q_2互素 \\ a-b=d(q-q2)=>d|a-b \\ 由于互素,q-q_2和q_2不存在约数d_2 \\ 否则容易得到q_2=d_2{q}_3,(q-q_2)/d_2=q/d_2-q_3整除 \\ 则d2|q,d_2|q_2=>d_2=1 \end{gathered}$$
因此单次减法上gcd相同，因此在辗转相除的意义下gcd同样相同

2.exgcd求逆元原理

exgcd同样可以用于求一个数同余意义下的逆元
显然的有
$$ax+by=kgcd(a,b)$$
裴蜀定理指出，一定存在一个整数解x,y使得k取到1
那么我们代入，令b为取模的数，如果有a,b互素则有
$$ax+by=1=>(ax+by)\%b=1$$
则x为a在b的同余系下的逆元

3.exgcd工作流程

exgcd的工作流程和辗转相除法密切相关
$$\begin{gathered} 方便起见，用r_0,r_1代入a,b \\ 对于i>1,r_i=r_{i-2}\%r_{i-1} \\ 根据gcd不变以及裴蜀定理 \\ {r}_{0}x+r_{1}y=d \\ {r}_1{x}_1+r_2{y}_1=d \\ ... \\ {r}_2=r_0\%r_1=r_0-\lfloor r_0/r_1\rfloor r_1，代入 \\ {r}_1{x}_1+(r_0-\lfloor r_0/r_1\rfloor r_1)y_1=r_0{y}_2+(x_1-\lfloor r_0/r_1\rfloor y_1)r1=d \end{gathered}$$
注意到2式和1式具有了相同的形式，这说明两者的解可以相互代入,因此可以解出2式的解，再按相应的形式代入回去即可得到1式的解，而2式的解又可以通过辗转相除一直递归做下去
一直到可以很容易的判断出某个式子成立的时候，也就是最终辗转相除法得到rn=0的时候，则有xn-1=1,yn-1=0成立，然后逐项代入回去
代码如下

int Exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if (!b) 
    {
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    int d=Exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-(a/b)*y;
    return d;
}
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