图论——最小生成树Kruskal算法模板

 Kruskal算法

   1、算法思想：所有边从小到大依次排序（sort、qsort）；依次考查每条边（u，v），有两种情况：

     情况1：u和v在同一个连通分量中，那么加入（u，v）后会形成环，因此不能选。

     情况2：如果不在一个连通分量，那么加入（u，v）一定是最优解，证明反证法：不加（u，v）存在最小生成树的话，那么加上（u，v）一定有且只有一个环，环中至少有一条边（u’，v’）的权值大于（u，v）的权值。那么删除该边后，得到的新树T’=T+（u，v）-（u’，v’）<= T。所以（u，v）是最优解。（很绕可以略过证明）

 ？问题1—— 判断任意两个点是否在同一个连通分量，还需要合并两个连通分量。

 办法1：暴力 （dfs，bfs），算法效率低

 办法2：并查集（Union-Find Set）

递归思想：把 X 的父节点保存在P[X]中（如果x没有父节点，则P[X]）弊端：假如这棵树是长长的一条链，每次查找就会很慢。

可以用压缩路径来优化。

2、例题：hdu_1863畅通工程

 以hdu_1863畅通工程为例，Kruskal算法适合 稀疏图

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define N 105
int n,m;//n条边，m个结点 
struct road{
	int xi,yi,vi;
}rd[N];
int par[N];//双亲结点 
int cmp(road x,road y){
	return x.vi<y.vi ;
}
int Unfind(int x){//并查集_查找，压缩路径 
	if(!par[x])return x;
	int i=x;
	while(par[i]) 
		i=par[i];
	int j=x,temp;
	while(par[j]){
		temp=par[j];
		par[j]=i;
		j=temp;
	}
	return i;
}
int main(){
	while(~scanf("%d%d",&m,&n)&&n!=0){
		memset(rd,0,sizeof(rd));//初始化结构体 
		memset(par,0,sizeof(par));//初始化双亲结点 
		for(int i=0;i<n;i++){
			scanf("%d%d%d",&rd[i].xi,&rd[i].yi,&rd[i].vi);
		}
		sort(rd,rd+n,cmp);
		int res=m,ans=0;
		for(int i=0;i<n&&res>1;i++){
			int nx=Unfind(rd[i].xi);
			int ny=Unfind(rd[i].yi);
			if(nx!=ny){//不是同一个连通分量合并 
				res--;
				printf("**%d\n",rd[i].vi);
				ans+=rd[i].vi;
				par[nx]=ny;
			}
		}
		if(res==1)//判断是否能生成树，边数等于结点数减 1 
			printf("%d\n",ans);
		else
			printf("?\n");
	}
}