4665: 小w的喜糖

错排问题的容斥原理与DP算法解析

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容斥原理

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题意：

求数字可重的错排。

题解：

考虑 $2^n$ 容斥，枚举哪些位一样，就是 $∑T∈S(−1)∣T∣(n−∣T∣)!Π(ai−bi)!\sum_{T \in S}(-1)^{|T|}\frac{(n-|T|)!}{\Pi(a_i-b_i)!}$
其中 $b_i$ 为每种颜色已用个数。
考虑dp这个式子， $f [i] [j]$ 表示前i种颜色，用了j个，式子下面逆元积的和。
枚举每种颜色用多少即可。
code：

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define LL long long
using namespace std;
const LL mod=1e9+9;
LL fac[2010],inv[2010],n;
LL a[2010];
void pre()
{
	fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=1;
	for(LL i=2;i<=2000;i++) inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod,fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	for(LL i=2;i<=2000;i++) inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%mod;
}
LL f[2010],g[2010];
int C(int m,int n) {return fac[m]*inv[m-n]%mod*inv[n]%mod;}
int main()
{
	pre();
	scanf("%lld",&n);
	for(LL i=1;i<=n;i++)
	{
		LL c;scanf("%lld",&c);
		a[c]++;
	}
	f[0]=1;
	LL tot=0;
	for(LL i=1;i<=n;i++)
	{
		for(LL j=0;j<=tot;j++) g[j]=f[j],f[j]=0;
		for(LL j=0;j<=tot;j++)
			for(LL k=0;k<=a[i];k++)
				(f[j+k]+=g[j]*inv[a[i]-k]%mod*C(a[i],k)%mod)%=mod;
		tot+=a[i];
	}
	LL ans=0;
	for(LL i=0;i<=n;i++) (ans+=((i&1)?-1:1)*f[i]*fac[n-i]%mod)%=mod;
	printf("%lld",(ans+mod)%mod);
}