乱七八糟图论知识大汇总

前言

今天来整理一下图论有关的东西
如果我觉得用的太熟练，没什么必要总结的就不写了。。
然后本文极有可能错漏百出。。
主要还是给我自己用的吧
upd19.1.15 添加了部分类容

网络流有关

前言

我只想讨论有原点汇点的网络流
并且原点即为S，汇点即为T

无源汇循环流

问题就是给你一个图，每一条边有一个上界和下界
问你是否有一种方案满足全部上下界
建立源点S和汇点T
这题的话，设一个值$v[i]$表示流进来的流量减去流出去的流量
然后每一条边变成$R-L$也就是自由流的大小
如果$v[i]>0$，就连一条$(S,i,v[i])$的边
如果$v[i]<0$，就连一条$(i,T,v[i])$的边
然后在上面跑一次最大流就可以了
如果满流就是有解
然后每一条边的流量加下下界就是答案了

上下界最大流

建立SS，TT
然后让T向S连一条MAX的边
然后如果有一条边(x,y)有界(a,b)
那么就让x连向TT一条a的边，SS连向y一条，然后原来的边改造成$(b-a)$
然后跑一次，要注意的是，这一次的流量是是$(T,S)$流过来的流量才是对的
你直接拿这次的流量是错的
当然，有一种写法可以避免这个问题
就是我们统计一下每个点入度和出度的差值，如果为正的，就连$(S,x)$，否则连$(x,T)$，这样拿最后的流量就可以了
通过这个写法，应该就可以知道为什么前面的写法，为什么不能直接拿流量了
然后这个是什么意思呢？
我觉得理解起来也很简单，就是假设这条边流起来，然后先帮他找一条路径
当然不满流就没有解了
然后把$(T,S)$这条边删掉删掉
然后在残留网络里面在跑一次最大流就可以了
然后两次的流量相加
代码自己写，我懒得搬过来了

上下界费用流

我觉得其实和最大流是一样的
你就直接把最大流改成费用流就好了吧QAQ
至少我是这么觉得的，如果错了请指出。。
有的时候，如果值需要跑一个满足下界的最小流，可以不做第二次操作
还有的就是跑到增广为负的时候就停止，这个视情况而定吧。。
就和普通费用流一样就行

上下界最小流

先和最大流一样跑一次
然后最后S到T的最大流改为T到S的最大流
然后两个流量相减就可以了

如何找割边

先跑一次最大流
然后在残留网络里面，如果一条边$(x,y)$，如果他是满流的并且没有$(x,y)$的增广，简单一点就是x不能走到y了，那么这就是一条割边
如何批量地找割边呢？
我们根据上面的说法，我们不难得到这么一个结论
先在残留网络跑一个Tarjan
如果一条边的两个端点(x,y)不在一个强连通分量里面，那么就是割边，这个做法本质上和之前一个一个判是一样的
但是这样的话，只能说明至少有一种割集包含他，但是他并不是一定会存在于所有割集的
那么哪些边是存在于所有割集（也就是必割的边）的呢？
在上面的基础上，如果还满足，x和S属于一个连通分量，y和T属于一个连通分量，那么这就是一条必割的边
这个用心感受一下就觉得特别对啊

如果找合法的的割

先用上面的方法先找到一条可能存在的边，然后把他退流
具体来说就是y向T跑一个最大流，然后x向S跑一个最大流
然后就可以了
判断割的话的话，每一次都跑一次是否连通比较好
用这种方法可以解决一些与字典序有关的问题

二分图相关

一些常用的定义与定理

二分图的最大独立集是：一个最大的点的集合，该集合内的任意两点没有边相连。
二分图最大团的定义是：一个最大的点的集合，该集合内的任意两点都有边相连。
最小点覆盖=最大匹配数
最大独立集=总点数-最小点覆盖
容易发现，最大团就是补图的最大独立集

最小路径覆盖问题

我只会是DAG的情况
然后下面有两种不一样的图
1.如果路径不可以相交
把每一个点拆成两个点$x_1$,$x_2$
如果有一条边$(x,y)$
那么就连边$(x_1,y_2)$
最后得出一个二分图
然后答案就是n-最小点覆盖
这样做的思路也比较直观
我们先把每一个点看做一条路径
然后每一次我们可以把两条路径连接起来
那么连接地最多就是最优了

2.如果路径可以相交
那么你先用Floyd，当然，这个可以用bieset优化
求出两两点之间是否连通
那么就可以变成和上面一样的问题了

连通分量有关

主要思想

我打算分成三个部分来梳理这个东西：
1.强连通
2.点双连通
3.边双连通
这三个的思想基本都是一样的，都是建立一个生成树，然后乱搞
注意两个变量dfn和low就好了
dfn是他在dfs树上面的编号
low是他走到子树里面能走到最浅的返祖点的编号

强连通

这是唯一一个有向图的连通分量
由于是有向边，所以有可能出现横叉边
因为我们要记录一个栈，表示那些点还在栈里面
那一个团就是一个已经缩完的连通分量

如果没有栈的话，可能就会错误
注意了这个就没什么了

边双连通分量

就是一个连通分量里面不存在桥
由于无向图的dfs树只有返祖边
所以就不需要那个栈了
注意一个小结论，就是边双连通分量里面，一定存在一个简单的环
然后如果你把边双连通分量缩起来就可以得到一棵树
你可以在上面作差分等一系列操作

点双连通分量

就是一个连通分量里面不存在割点
缩点和缩边其实是差不多的
但是这个的话，你可能会注意到一个问题，就是一个点，可能存在于多个点双连通分量里面
那怎么办呢？
我们可以对于每一个点双连通建立一个虚点，然后让他去连所有这个连通分量里面的点
具体代码如下：

if (low[y]>=dfn[x])
{
    cnt++;int i;
    do
    {
        i=sta[top--];init(cnt,i);init(i,cnt);
    }while (i!=y);
    init(x,cnt);init(cnt,x);
}

并且这样下来以后，容易发现他还是一颗树
但是他有一些特殊性质，就是每一个新建的点，也就是代表连通分量
这个点的信息是所有连向他的点的并
这个的话，注意一下就好了
但是如果要支持修改的话，不要忘了，要修改他附件的点，因为这个东西，新建节点和原来的节点肯定是交替出现的
所以如果你改的这一层是原来的点，你就要顺带修改与他相邻的点
如果是树剖的话，就修改多一个父亲就可以了