BCPC预赛2020

来随便做做，当作康复训练了
因为都是胡乱扫一眼题面就去做别的事情了
然后用一些零碎的时间想，因此数据范围常常看错
目前做了F,K,M,N,L,H,J

F

一开始看上去非常不可做…
大力猜结论：一定先推完一个再推另外一个
然后被样例打没了
仔细看数据范围都是15
发现可以大力压箱子和人的位置，然后就没了$O((nm{)}^3)$

K

一开始看上去非常不可做
想着枚举r，然后线段树维护每一个l的答案
然后发现并没有任何很好的性质
仔细看数据范围，a,b都小于20
开始大力考虑维护一个$h_i$,$g_i$对面有这个数的段的答案和没有的答案
后来发现大力FWT就可以了,先状压每一个牌的状态
先用xor维护出每一段最终状态的方案
最后我们要求这个玩意a&(a^b)的卷积,可以发现等价于a&(!b)
大力AND就可以了

M

先胡乱搞一发
$f_i$表示凑出$i$的乘积划分，因子间顺序无关，就是$2\ast 3$，$3\ast 2$算两个
$f_i=1+{\sum }_{d|i}f(d)$
$F_i$为$f$的前缀和
答案就是$\sum 2\ast f_i\ast i\ast F_{n/i}$
发现没法分块,定义$G_i=f_i\ast i$
考虑直接筛F，不难发现
枚举最后一个填啥
$F_i={\sum }_d{F}_{i/d}$
考虑筛G，考虑G的意义，然后依然枚举最后一个填啥
$G_i={\sum }_d{G}_{i/d}\ast d$
分块套分块的形式，参考杜教筛的复杂度分析可知是$O(n^{2/3})$的

顺便学习了一波杜教筛，突然发现当年学不会的东西怎么这么好搞的样子。。
先说一下一般形式
假设$S_n$为$f$的前缀和，我们要求$S_n$
如果不好求，考虑引入另外一个函数$g$
尽可能满足$f\ast g=h$然后h，g都比较好求，其中$\ast$为狄利克雷卷积
大力展开$$\begin{gathered} \sum _{i=1}(f\ast g)(i)=\sum _{i=1}\sum _{d|i}f(i/d)\ast g(d)=\sum _{d}g(d)\sum _{d|i}f(i/d)= \\ \sum _{d}g(d)\sum _{n/d}F(i/d)=\sum _i{h}_i \end{gathered}$$
如果h的前缀和和g的前缀和都很好求就可以大力分块套分块了
以这题为例,考虑推$f$
${\sum }_{d|n}f(d)A\left(\frac{n}{d}\right)=1$
其中A除了$1$为$1$，其它都是$-1$
A和1的前缀和都非常好求，于是就可以筛了
G的推法也差不多,不写了

所以说，杜教筛和积性函数有啥关系？

顺便说一下$\varphi$的筛法
有一个性质就是${\sum }_{d|n}\varphi (d)=n$
证明的话可以考虑$\frac{1}{n},\frac{2}{n},\frac{3}{n}...\frac{n}{n}$的最简分数形式

？

突然想起来以前出一个一个大力DP题，然后被嘲讽是FWT裸题
这次又搞出一个大力DP题，然后判定为杜教筛入门题
顺带一题，如果K没有反应过来等价关系然后用AND来搞，也可以大力DP…
大概就是确定了前$i$位然后状态是j的方案数就可以了，复杂度是一样的
FWT_XOR没法救
所以我的技能树怎么一直跟不上时代。。怪不得我这么菜

N(12.12)

距离上一次做这套题已经十天过去了
直接讨论不好讨论，考虑对于每一个引入变量$d_i$表示第$i$个选不选
$$\frac{({\sum }_{i=1}^n{d}_i{a}_i{)}^2}{{\sum }_{i=1d_i{a}_i^2}}=1+\frac{{\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=i+1}^n{a}_i{a}_{j}2d_i{d}_j}{{\sum }_{i=1d_i{a}_i^2}}$$
求后面的最大值就可以了
把后面的式子看作有n*n个物品，然后如果选了物品$(i,j)$就必须选$(i,i)$和$(j,j)$
分数规划之后
跑一个最大权闭合子图即可
m的限制直接放上去就可以了

L

大力莫队即可

H

最大不说了，考虑最小
先转化一下比较好搞
有n条线段，不能选相邻的，选出k条
一个直观的做法是带后悔的贪心
我是写了两个set来维护，常数太大光荣牺牲，不调了
翻了一下，还有用WQS二分的做法
不提了

？

这套题怎么全都是技能树？

J

考虑怎么计算答案
我们维护两个值$f_i$,$g_i$，分别表示走到$i$的概率，$i$还能继续走的概率
答案就是$1+\sum f_i\ast g_i$
$f_i$一开始每一个串的结束点都是$1/n$
设一个串的字串个数为$t_i=m\ast (m+1)/2$m为串的长度
然后开始从长到段短更新，每一个串$i$给他能到的串加上$f_i$，当然乘上$t_i$
$g_i$的话就是一个串可以到达的字串个数，当然要记重，最后除$t_i$即可
具体实现的话，把AC自动机建出来
f的话就是fail加，当然每一个前缀节点都要跳，这个的话打个lazy，前缀节点跳的时候一起处理就好了
g的话也是跳fail，然后值要传给每一个后缀节点，同样打一个lazy给后缀节点就可以了
复杂度O(n)
感觉很对的样子，然而WA4了，溜了溜了