【CS 4203】山区建小学(dp)

本文介绍了一个基于动态规划的算法,用于解决在一条线性分布的村庄中如何选择最佳位置建立学校,以使所有村庄到最近学校的总距离最小。通过使用前缀和与DP技术,有效地解决了这一问题。

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题目描述 Description

政府在某山区修建了一条道路,恰好穿越总共m个村庄的每个村庄一次,没有回路或交叉,任意两个村庄只能通过这条路来往。已知任意两个相邻的村庄之间的距离 为di(为正整数),其中,0 < i < m。为了提高山区的文化素质,政府又决定从m个村中选择n个村建小学(设 0 < n < = m < 500 )。请根据给定的m、n以及所有相邻村庄的距离,选择在哪些村庄建小学,才使得所有村到最近小学的距离总和最小,计算最小值。

输入描述 Input Description

第1行为m和n,其间用空格间隔
第2行为(m-1) 个整数,依次表示从一端到另一端的相邻村庄的距离,整数之间以空格间隔。

例如
10 3
2 4 6 5 2 4 3 1 3(样例输入)
表示在10个村庄建3所学校。

第1个村庄与第2个村庄距离为2,

第2个村庄与第3个村庄距离为4,

第3个村庄与第4个村庄距离为6,

…,

第9个村庄到第10个村庄的距离为3。

输出描述 Output Description

各村庄到最近学校的距离之和的最小值。

样例输入 Sample Input

10 2

3 1 3 1 1 1 1 1 3

样例输出 Sample Output

18

思路:

由于题目求离最近的学校,而不是前一个学校,所以枚举学校的具体位置不方便,可转化成学校居区间中间的划分问题。
用前缀和维护的dp,记录一下前面的信息,dis[l][r]存村庄l和村庄r之间建1个小学的最小距离和,即到中间那个村庄的距离和。f[i][j]表示前i个村庄建了j个小学的最小距离和

代码如下:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cmath>
#define ri register int
typedef long long LL;
using namespace std;
const int sz = 600;
const int inf = 1e9+7;
inline void rd(int &x){
    x=0;bool f=0;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') f=1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    if(f) x*=-1;
}
inline void we(int x){
    if(x<0) putchar('-'),x*=-1;
    if(x/10) we(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
int n,m;
int dp[sz][sz],cnt[sz][sz];
int num[sz],sum[sz];
int main()
{
    rd(m),rd(n);
    for(ri i=2;i<=m;++i)
    {
        rd(num[i]);
        sum[i]=sum[i-1]+num[i];
    }
    memset(dp,inf,sizeof(dp));//这个写法的话千万注意inf的大小mmp!
    for(ri i=1;i<=m;++i)
    for(ri j=i;j<=m;++j)
    {
        int tot=0;  
        int s=(i+j)/2;
        for(ri k=i;k<s;++k)
            tot+=sum[s]-sum[k];
        for(ri k=s;k<=j;++k)
            tot+=sum[k]-sum[s];
        cnt[i][j]=tot;
    }
    for(ri i=1;i<=m;++i)
        dp[i][1]=cnt[1][i];
    for(ri i=1;i<=m;++i)
    for(ri j=2;j<=n;++j)
    for(ri k=1;k<i;++k)
        dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[k][j-1]+cnt[k+1][i]);
    we(dp[m][n]);
    return 0;
}
### 动态规划算法实现 此问题是经典的动态规划问题之一,目标是从 \( m \) 个村庄中选择 \( n \) 个村庄小学,使得所有村庄到最近的小学的距离总和最小。 #### 状态定义 令 \( dp[i][j] \) 表示从前 \( i \) 个村庄中选出 \( j \)小学时,这些村庄到最近小学的最小距离总和。 状态转移的关键在于如何计算从某个区间的村庄中选一所小学的最佳位置,并将其扩展至整个动态规划过程。 #### 辅助数组构 为了简化状态转移的过程,预先计算辅助数组 \( c[i][j] \),表示从第 \( i \) 个村庄到第 \( j \) 个村庄之间仅一所小学时的最小距离总和。具体来说: 对于区间 \( [i, j] \),假设在这些一所小学,则最佳的位置应位于中间的一个或多个村庄处(即中位数)。因此可以枚举每个可能的中位数位置并计算对应的总距离[^3]。 ```python def preprocess(m, distances): # 计算c[i][j]:从第i个村庄到第j个村庄一所小学的最短距离和 c = [[0] * (m + 1) for _ in range(m + 1)] for length in range(2, m + 1): # 枚举区间长度 for i in range(1, m - length + 2): # 枚举起点 j = i + length - 1 # 终点 mid = (i + j) // 2 # 中位数位置 total_distance = sum(abs(k - mid) * distances[k-1] for k in range(i, j + 1)) c[i][j] = total_distance return c ``` #### 动态规划核心逻辑 基于预处理得到的 \( c[i][j] \),我们可以设计如下动态规划的状态转移方程: \[ dp[i][j] = \min_{k=1}^{i}(dp[k-1][j-1] + c[k][i]) \] 解释:\( dp[i][j] \) 的值由两部分组成——前一部分是之前已经选定的 \( j-1 \)小学对应的距离总和 \( dp[k-1][j-1] \),另一部分则是当前新增的一所小学覆盖范围内的贡献 \( c[k][i] \)[^4]。 初始化条件为: - 当 \( j = 1 \) 时,显然只需要在整个范围内选取唯一一所小学即可,故有 \( dp[i][1] = c[1][i] \); - 对于任何 \( i > 0 \), 若未立任何小学 (\( j = 0 \)) ,则其代价无穷大,记作 \( dp[i][0] = INF \). 最终答案存储在 \( dp[m][n] \) 中。 ```python def min_total_distance(m, n, distances): INF = float('inf') c = preprocess(m, distances) # 初始化DPdp = [[INF] * (n + 1) for _ in range(m + 1)] for i in range(1, m + 1): dp[i][1] = c[1][i] dp[0][0] = 0 # 填充DP表 for j in range(2, n + 1): # 学校数量 for i in range(j, m + 1): # 考虑前i个村庄 for k in range(j - 1, i): # 枚举分割点 dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[k][j - 1] + c[k + 1][i]) return dp[m][n] ``` ### 结果返回 调用 `min_total_distance` 函数传入参数 \( m \), \( n \), 和相邻村庄之间的距离列表即可获得所需的结果。 ---
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