【CS 4203】山区建小学（dp）

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划分DP

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本文介绍了一个基于动态规划的算法，用于解决在一条线性分布的村庄中如何选择最佳位置建立学校，以使所有村庄到最近学校的总距离最小。通过使用前缀和与DP技术，有效地解决了这一问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述 Description

政府在某山区修建了一条道路，恰好穿越总共m个村庄的每个村庄一次，没有回路或交叉，任意两个村庄只能通过这条路来往。已知任意两个相邻的村庄之间的距离为di（为正整数），其中，0 < i < m。为了提高山区的文化素质，政府又决定从m个村中选择n个村建小学（设 0 < n < = m < 500 ）。请根据给定的m、n以及所有相邻村庄的距离，选择在哪些村庄建小学，才使得所有村到最近小学的距离总和最小，计算最小值。

输入描述 Input Description

第1行为m和n，其间用空格间隔
第2行为(m-1) 个整数，依次表示从一端到另一端的相邻村庄的距离，整数之间以空格间隔。

例如
10 3
2 4 6 5 2 4 3 1 3(样例输入)
表示在10个村庄建3所学校。

第1个村庄与第2个村庄距离为2，

第2个村庄与第3个村庄距离为4，

第3个村庄与第4个村庄距离为6，

…，

第9个村庄到第10个村庄的距离为3。

输出描述 Output Description

各村庄到最近学校的距离之和的最小值。

样例输入 Sample Input

10 2

3 1 3 1 1 1 1 1 3

样例输出 Sample Output

思路：

由于题目求离最近的学校，而不是前一个学校，所以枚举学校的具体位置不方便，可转化成学校居区间中间的划分问题。
用前缀和维护的dp，记录一下前面的信息，dis[l][r]存村庄l和村庄r之间建1个小学的最小距离和，即到中间那个村庄的距离和。f[i][j]表示前i个村庄建了j个小学的最小距离和

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cmath>
#define ri register int
typedef long long LL;
using namespace std;
const int sz = 600;
const int inf = 1e9+7;
inline void rd(int &x){
    x=0;bool f=0;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') f=1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    if(f) x*=-1;
}
inline void we(int x){
    if(x<0) putchar('-'),x*=-1;
    if(x/10) we(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
int n,m;
int dp[sz][sz],cnt[sz][sz];
int num[sz],sum[sz];
int main()
{
    rd(m),rd(n);
    for(ri i=2;i<=m;++i)
    {
        rd(num[i]);
        sum[i]=sum[i-1]+num[i];
    }
    memset(dp,inf,sizeof(dp));//这个写法的话千万注意inf的大小mmp！
    for(ri i=1;i<=m;++i)
    for(ri j=i;j<=m;++j)
    {
        int tot=0;  
        int s=(i+j)/2;
        for(ri k=i;k<s;++k)
            tot+=sum[s]-sum[k];
        for(ri k=s;k<=j;++k)
            tot+=sum[k]-sum[s];
        cnt[i][j]=tot;
    }
    for(ri i=1;i<=m;++i)
        dp[i][1]=cnt[1][i];
    for(ri i=1;i<=m;++i)
    for(ri j=2;j<=n;++j)
    for(ri k=1;k<i;++k)
        dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[k][j-1]+cnt[k+1][i]);
    we(dp[m][n]);
    return 0;
}