codevs 4203 山区建小学

最新推荐文章于 2021-07-21 16:43:20 发布

原创最新推荐文章于 2021-07-21 16:43:20 发布 · 231 阅读

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本文探讨了一个有趣的DP问题：如何在山区的m个村庄中选择n个村庄建设小学，以使所有村庄到最近小学的距离总和最小。文章详细解析了解决方案的难点，包括预处理和DP方程，并分享了实现代码。

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题目描述 Description

政府在某山区修建了一条道路，恰好穿越总共m个村庄的每个村庄一次，没有回路或交叉，任意两个村庄只能通过这条路来往。已知任意两个相邻的村庄之间的距离为di（为正整数），其中，0 < i < m。为了提高山区的文化素质，政府又决定从m个村中选择n个村建小学（设 0 < n < = m < 500 ）。请根据给定的m、n以及所有相邻村庄的距离，选择在哪些村庄建小学，才使得所有村到最近小学的距离总和最小，计算最小值。

输入描述 Input Description

第1行为m和n，其间用空格间隔
第2行为(m-1) 个整数，依次表示从一端到另一端的相邻村庄的距离，整数之间以空格间隔。

例如
10 3
2 4 6 5 2 4 3 1 3(样例输入)

表示在10个村庄建3所学校。

第1个村庄与第2个村庄距离为2，

第2个村庄与第3个村庄距离为4，

第3个村庄与第4个村庄距离为6，

…，

第9个村庄到第10个村庄的距离为3。

输出描述 Output Description

各村庄到最近学校的距离之和的最小值。

样例输入 Sample Input

10 2

3 1 3 1 1 1 1 1 3

样例输出 Sample Output

数据范围及提示 Data Size & Hint

0 < n < = m < 500

最近做到这道题，想了很久没搞出来，最终还是看了些大神的思路才明白。
真的是强
已经算是遇到过的非常有意思的dp了吧

总结一下，
其实难点有以下几点：
1、预处理：先建立init[i][j]，表示从i村到j村之间建一个小学时，这个区间里的最短距离和。这里有个小tip，就是这小学一定建在（i+j）/2的地方，具体不证。
2、dp方程：step[i][j]表示从第一个到第i个村间建j个小学时的最短距离和，则有step[i][j]=max(step[i][j],step[k][j-1]+init[k+1][i]),且j-1≤k≤i-1。

※其实刚看到这条方程时，还在怀疑是不是错了，毕竟k+1~i的村也可以到k以前的小学去呀？但后来一想，这其实不是错误，假如第k+1村到前面的小学更近，那就是step[k+1][j-1]+init[k+2][i]时要考虑的了。

再次膜拜大佬，这思路6666666666

下面放代码（自己写的，不太简洁）：

代码

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int m,n,len[505]={0},step[505][505]={0},init[505][505]={0};
int main(){
    cin>>m>>n;
    for (int i=2;i<=m;i++){
        cin>>len[i];
        len[i]+=len[i-1];    //标记每个村庄位置
    }

    for (int i=1;i<=m;i++){
        for (int j=1;j<=i;j++){
            int mid=(j+i)/2;
            for (int k=j;k<=i;k++) init[j][i]+=abs(len[mid]-len[k]);    //预处理
        }
        step[i][1]=init[1][i];  
    }

    for (int i=2;i<=n;i++)
    for (int j=i;j<=m;j++){
        step[j][i]=step[i-1][i-1]+init[i][j]; 
        for (int k=i+1;k<=j;k++)
            step[j][i]=min(step[j][i],step[k-1][i-1]+init[k][j]); //dp方程
    }

    cout<<step[m][n];
    return 0;
}