天天写算法之回顾总结dp算法

最新推荐文章于 2025-07-15 10:49:25 发布

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本文深入讲解了DP算法的核心思想及应用技巧，通过多个实例详细分析了如何构建DP数组，确定状态转移方程，并给出了具体实现代码。

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个人理解：dp算法是一种理想状态的算法，假设在这一次之前所有的行动都是最优的，那么挑选出连接这一次状态的（也就是上一次行动）的最有情况加上这一次情况的奖励，那么就是当前这个状态下最优的。

总结了一下，主要是针对简单的模板题，这些题目都是我根据hdu的acm step中提炼出来的。

其实每一个dp算法，都需要有一个dp数组，无论是一维的还是二位的，用于保存到目前为止的最优状态。

可以总结一个公式，在dp题型里面，基本上都会有如下形式的公式出现

dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i-1][j]或者dp[i][j-1]或者都有）

另外需要注意的一点，就是初始值的给定。下面是一些题目：

FatMouse's Speed：

链接

这个题目就是让求最长的符合条件的老鼠，并记下编号：

先上代码：

#include <iostream>  
#include <iomanip>  
#include<queue>  
#include<math.h>  
#include<algorithm>  
#include<string.h>  
#include<stdlib.h>  
#include<stdio.h>  
#include<iomanip>  
#include<string.h>  
#include<sstream>  
#include<string>  
//定义函数段  
#define repf(i,a,b) for(int i =(a);i<(b);i++)  
using namespace std;  
  
struct mouse{  
public :  
    int num ;  
    int weight;  
    int speed ;  
};  
  
bool cmp(mouse a ,mouse b )  
{  
    if(a.weight==b.weight)  
        return a.speed>b.speed;  
    return a.weight<b.weight;  
}  
struct node{  
public :  
    int num ;//记录之前有多少个符合要求的mouse  
    int pre;  
} dp[1000];  
  
mouse mice[1000];  
int main() {  
  
   int index = 0 ;  
   while(cin>>mice[index].weight&&cin>>mice[index].speed)  
   {  
       mice[index].num=index+1;  
       index ++ ;  
   }  
   repf(i,0,1000)  
   {  
       dp[i].num = 1;//符合上述要求的并且包括自己的这个串上有多少个老鼠  
       dp[i].pre = 0;  
   }  
  
   sort(mice,mice+index,cmp);  
   int Max = 0 ,beginIndex;  
   repf(i,0,index)  
   {  
       repf(j,0,i)  
       {  
           //判断是不是辐射最上层的要求  
           if(mice[j].speed>mice[i].speed&&mice[j].weight<mice[i].weight)  
           {  
               //看看长度如果小的话，那么就可以加  
               if(dp[i].num<dp[j].num+1)  
               {  
                   //更新最长节点数  
                   dp[i].num=dp[j].num+1;  
                   //更新上一个老鼠的位置  
                   dp[i].pre=j;  
               }  
           }  
       }  
       //更新最大值  
       if(dp[i].num>Max)  
       {  
           Max=dp[i].num;  
           beginIndex = i ;  
       }  
   }  
//这个其实完全没必要，直接一个循环，就是结果。  
   int m[1000];  
   repf(k,0,Max)  
   {  
       m[k] = beginIndex;  
       beginIndex = dp[beginIndex].pre;  
   }  
   //输出个数  
   cout << Max<<endl;  
   //输出路径  
   for(int k = Max-1;k>=0;k--)  
   {  
       cout << mice[m[k]].num<<endl;  
   }  
  
  
    return 0;  
}

这个题目里边使用的dp是在这个位置：

//看看长度如果小的话，那么就可以加
               if(dp[i].num<dp[j].num+1)
               {
                   //更新最长节点数
                   dp[i].num=dp[j].num+1;
                   //更新上一个老鼠的位置
                   dp[i].pre=j;
              } 虽然有点变形，因为还需要对dp[i].pre记录前驱，所以没法写成一个max得到结果。

而这个里边需要大家记住的是，每次的最佳状态都是基于上一次的，而这种没法明显的到上一次的题目（上一次哪个？最长，虽然都是最佳状态，我并不知道），就需要这种for i..... for j ; j<i ; 这种结构，我们来看第二个题目。

命运

点击打开链接

上代码，这个题目就很亲民了，每次当前状态的dp都是上一次dp中最大的加上当前的奖励值

上代码：

#include <iostream>  
#include <iomanip>  
#include<queue>  
#include<math.h>  
#include<algorithm>  
#include<string.h>  
#include<stdlib.h>  
#include<stdio.h>  
#include<iomanip>  
#include<string.h>  
#include<sstream>  
#include<string>  
//定义函数段  
#define repf(i,a,b) for(int i =(a);i<(b);i++)  
using namespace std;  
const int inf = -1000;  
int data[21][1001];  
int dp[21][1001];  
  
  
  
int main() {  
    int num,r,c,Max ;  
  
    cin>>num;  
    while(num--){  
    cin >> r >> c ;  
    for(int i = 1 ; i <=r;i++)  
    {  
        for(int j = 1 ;j <= c ; j++)  
        {  
            cin>>data[i][j];  
        }  
    }  
    memset(dp,0,sizeof(dp));  
  
    for(int i = 1 ; i <= r ; i ++)  
    {  
        for(int j = 1 ; j <=c ; j ++)  
        {  
            if(i==1&&j==1)  
            {  
                dp[i][j]=data[i][j];  
                continue ;  
            }  
            Max = -1000;  
            for(int k = 1 ; k <j ;k++)  
            {  
                if(j%k==0)  
                {  
                    Max=max(Max,dp[i][k]);  
                }  
            }  
            if(i-1>=1)  
            {  
             Max = max(Max,dp[i-1][j]);  
            }  
            if(j-1>=1)  
            {  
             Max = max(Max,dp[i][j-1]);  
            }  
             dp[i][j] = Max+data[i][j];  
  
  
        }  
    }  
    cout << dp[r][c] <<endl;  
    }  
    return 0;  
}

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下一个题目：

免费馅饼

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这个题目还是两个日常for循环走起，题目给的前后信息很明确，代码如下：

#include <iostream>  
#include <iomanip>  
#include<queue>  
#include<math.h>  
#include<algorithm>  
#include<string.h>  
#include<stdlib.h>  
#include<stdio.h>  
#include<iomanip>  
#include<string.h>  
#include<sstream>  
#include<string>  
//¶¨Òåº¯Êý¶Î  
#define repf(i,a,b) for(int i =(a);i<(b);i++)  
#define repfe(i,a,b) for(int i =(a);i<=(b);i++)  
using namespace std;  
const int inf = -1000;  
 int data[100001][12];  
 int dp[100001][12];  
  
int main() {  
    int num,position,t,Max,MaxT = 0,tempDp = -1;  
  
    while(cin>>num&&num!=0)  
    {  
        memset(data,0,sizeof(data));  
        repfe(i,1,num)  
        {  
            cin>> position>> t ;  
            if(t>MaxT)  
            {  
              MaxT = t ;  
            }  
            data[t][position] ++;  
  
        }  
        memset(dp,0,sizeof(data));  
        dp[1][4] = data[1][4];  
        dp[1][5] = data[1][5];  
        dp[1][6] = data[1][6];  
        repfe(i,2,MaxT)  
        {  
            repf(j,0,11)  
            {  
                 tempDp = -1 ;  
                tempDp = max(tempDp,dp[i-1][j]);  
                if(j<10)  
                tempDp = max(tempDp,dp[i-1][j+1]);  
                if(j>0)  
                tempDp = max(tempDp,dp[i-1][j-1]);  
                dp[i][j] = tempDp + data[i][j];  
              //  cout << j <<" " << i <<" "<<dp[j][i]<<endl;  
            }  
        }  
  
        int res = 0 ;  
        repf(i,0,12)  
        {  
            if(dp[MaxT][i]>res)  
            {  
                res = dp[MaxT][i];  
            }  
        }  
        cout <<res <<endl;  
  
    }  
  
    return 0;  
}

这个题目有两个坑，一个是你初始化的时候，要正确，不是全0就完事了，另一个是你需要搞清楚循环嵌套的顺序，是先时间，还是先位置。

下一个：

直接上地址: 点击打开链接

这个题目就是，没有明确前后信息，需要你自己找，也就是 j<i的那种循环。