关于sg函数异或和转移的证明

学过博弈论的都知道,当多个博弈同时进行(比如尼姆博弈)时,我们通过将其各个博弈状态的sgsg值求个异或和以确定其输赢情况,其中我们发现:
1.当异或和为00的时候,我们怎么转移,异或和都不为0
2.当异或和不为00的时候,我们一定至少一种转移方法可以使得异或和为0

也是基于这两个结论,我们才能通过求异或和的方式确定输赢。

那么如何证明这两个结论呢?

证明1:
已知nn个数异或和为0
证明无论如何转移,异或和都不为00

反证法
假设我们可以转移到异或和为0的状态
设我们所改变的其中一个状态的sgsg值为kk,改变之后的状态的sg值为kk′,其余所有的状态的sgsg值异或和为tt
由于当前异或和为0可知
k^t=0t=0
由于状态改变之后kk变成了k,我们可以转化为原来的异或和先异或一个kk再异或一个k,且异或和仍然为0
kk^t^kk^k=0
kk^k=0
k=kk=k′
显然不符合sgsg函数的性质
所以假设不成立
所以异或和为0的状态一定只能转移成异或和不为0的状态。

证明2:
已知当前异或和不为00
证明一定有一种转移可以使异或和为0

设当前异或和为kk
设k的二进制中第a1,a2an位为1(其中a1>a2>>ana1>a2>……>an
当前的所有博弈状态一定可以找到一个状态的sgsg值的第a1a1位为11
设这个状态为JJJsg值为RR
Ra1,a2ana1,a2……an位取反,得到一个数PP
因为R的第a1a1位为11P的第a1a1位为00
所以P<R
根据sgsg函数的性质,sgsg值为PP的状态J一定可以转移到sgsg值为PP比他小的状态
而当异或和中的一项R变为PP之后,异或和变为0
所以异或和不为00的状态一定可以转移到异或和为0的状态

证毕
(因为不熟悉markdown语法,写得有点繁琐,以后有空改一下)

评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值