学过博弈论的都知道,当多个博弈同时进行(比如尼姆博弈)时,我们通过将其各个博弈状态的sgsg值求个异或和以确定其输赢情况,其中我们发现:
1.当异或和为00的时候,我们怎么转移,异或和都不为
2.当异或和不为00的时候,我们一定至少一种转移方法可以使得异或和为
也是基于这两个结论,我们才能通过求异或和的方式确定输赢。
那么如何证明这两个结论呢?
证明1:
已知nn个数异或和为
证明无论如何转移,异或和都不为00
反证法
假设我们可以转移到异或和为的状态
设我们所改变的其中一个状态的sgsg值为kk,改变之后的状态的值为k′k′,其余所有的状态的sgsg值异或和为tt
由于当前异或和为0可知
^t=0t=0
由于状态改变之后kk变成了,我们可以转化为原来的异或和先异或一个kk再异或一个,且异或和仍然为0
即kk^^kk^
即kk^
即k=k′k=k′
显然不符合sgsg函数的性质
所以假设不成立
所以异或和为0的状态一定只能转移成异或和不为0的状态。
证明2:
已知当前异或和不为00
证明一定有一种转移可以使异或和为
设当前异或和为kk
设k的二进制中第位为1(其中a1>a2>……>ana1>a2>……>an)
当前的所有博弈状态一定可以找到一个状态的sgsg值的第a1a1位为11
设这个状态为,JJ的值为RR
将的a1,a2……ana1,a2……an位取反,得到一个数PP
因为的第a1a1位为11,的第a1a1位为00
所以
根据sgsg函数的性质,sgsg值为PP的状态一定可以转移到sgsg值为PP比他小的状态
而当异或和中的一项变为PP之后,异或和变为
所以异或和不为00的状态一定可以转移到异或和为的状态
证毕
(因为不熟悉markdown语法,写得有点繁琐,以后有空改一下)